P = JJ

Nous allons prouver que celte valeur peut être obtenue par des règles analogues à celles qui concernent les séries à double entrée.

21. Supposons d'abord que toutes les quantités aa^^ soient positives ou nulles.

Le produit d*autant de facteurs que l'on veut, pris parmi les quantités i + ««^p est au plus égal à P. On peut prendre assez de facteurs pour que leur produit dépasse tel nombre que l'on veut inférieur à P.

Soient/?, q deux entiers positifs : posons

i-J-^a,7= YJi ('-^^a.P)= (i-t-«a,-9)(H-«a,-7+i)---(ï-^-«a,o)

x(i-+-aa,i) (H-«a,i) .--(i + aa.y),

I-hXp,y= JJ (l-h la,q) = (l-^ l-p,q)il-^ /pH-i,ç)...(l-^ /o,ç)

I -h'^-p,q peut aussi être considéré comme le produit de tous les facteurs i -|- «oi^p pour lesquels on a

'a,^î "^^P,ç sont positifs ou nuls et Ton a

Quand q augmente indéfiniment, i-j-Za^^, qui augmente avec q, tend vers une limite i H- /«, et l'on a

où le second membre représente, comme il a été expliqué (n** 10), le produit des valeurs des deux produits infinis dont les facteurs s*obtiennent en faisant varier, dans aa,p? P de o à -|- oc et de — i à — 00.

D^ailleurs, si dans l'inégalité

on fait croître q indéfiniment, on voit, en se reportant à la définition de I H-^/>,v ^"^ J^s 2/? + I facteurs qui le composent tendent respectivement vers

en sorte que Ton a

XIC'^M^P.

Comme les nombres /« sont positifs ou nuls, on en conclut que le produit infini

ne-'»)

est convergent et a une valeur égale ou inférieure à P. Mais cette valeur ne peut être que supérieure à i + a^^^; or, si l'on se donne un nombre positif B < P quelconque, on peut, d'une part,

3o INTRODUCTION.

prendre n assez grand pour que le produit

dépasse B et, d'autre part, prendre/?, q assez grands pour que tous les facteurs qui précèdent entrent dans la composition de i -h ^p^q qui sera dès lors supérieur à B. Donc, la valeur du produit infini, étant supérieure à B, est nécessairement égale à P.

Remarquons en passant que la convergence de la série à termes positifs ou nuls

résulte de la précédente analyse.

22. Supposons maintenant que les quantités aa^p étant quelconques, réelles ou imaginaires, la série à double entrée dont le terme général est |aa,p| soit convergente. Conservons les mé.mes significations aux quantités /a,^, ^p^g ^^ posons

»-+-^i,v = fJ('+l«ût.pl)»

Le produit infini

est absolument convergent à cause de la convergence de la série à termes positifs

La valeur de ce produit infini est la limite i 4- /« de i + /«^^ pour q infini, et Ton peut poser encore

ï-^^a=JJ (» + ««,?).

SÉRIB8 ET PRODUITS INFINIS A TERMES CONSTANTS. 3l

Si l'on fait de même

i-^-^i = J][(i-+-I^a,pl), P

on aura évidemment

Mais, d'après le numéro précédent, la série

est convergente; il en est donc de même de la série

et. par suite, le produit infini

est absolument convergenl. Nous allons prouver que sa valeur est égal à P.

Choisissons, à cet effet, un entier n assez grand pour que lous les fadeurs i -h «a,p tels que Ton ait

fîgurent parmi les facteurs

désignons par P„ le produit de ces facteurs et par P), le produit

des facteurs

D'après un raisonnement déjà employé (n** 15), nous aurons alors

d'où, en faisant croître n indéfiniment et en désignant par P' la limite de P^ pour n infini,

puis, en faisant croître q indéfiniment,

p-no+M ^p-n(i+^;).

Mais, lorsque p augmente indéfiniment, la limite du second membre est zéro; on a donc finalement

a=— • Lp=~"

Pour la même raison

en sorte qu'on peut grouper, soit d'abord par lignes horizontales et réunir en un même produit infini les produits partiels ainsi obtenus, soit d'abord par lignes verticales et réunir en un même produit infini les produits partiels ainsi obtenus. On pourrait encore eflectuer ces groupements partiels d'une infinité d'autres manières.

SÉUIBS DOI^T LES TERMES DÉPENDENT d'uNE VARIABLE. 33