I. — Définitions et premières propositions

23. Nous n'avons considéré jusqu'ici que des séries ou des produits infinis dont les termes ou les facteurs dépendent uniquement de leur rang ; nous allons considérer maintenant des séries ou des produits infinis dans lesquels ces termes ou ces facteurs dépendent d'une variable x réelle ou imaginaire.

Considérons tout d'abord une telle série

S = ai-+-MjH-...-4-W«-H...,

et supposons qu'elle soit convergente pour chaque valeur de x appartenant à un certain ensemble défini comme on le voudra. Alors la somme de cette série définit une fonction (^) dont la valeur est déterminée pour chaque valeur de x appartenant à cet ensemble.

Désignons par S» la somme des n premiers termes et par R^ le reste de la série limitée au terme w«, c'est-à-dire la somme de la série convergente

la série proposée est dite uniformément convergente pour le^

(*) Nous entendrons le mol fonction sans épithète, dans ce sens : la variable y est fonction de la variable indépendante Xj si la valeur de y €sl déterminée quand on se donne la valeur de x. Cette signification du mot fonction est très différente de celle qu'il prend dans l'expression fonction analytique,

T. et M. — I. 3

valeurs de x apparlenanl à l'ensemble considéré (*), si, à chaque nombre positif e, on peut faire correspondre un entier positif r tel que, sous la seule condition

/i>r, Ton ait

quelle que soit la valeur de x appartenant à Tensemble considéré. De même, si, pour toutes les valeurs de x appartenant à un ensemble, le produit

JJ(l-4-W.,)

est absolument convergent, on dira qu'il est en outre uniformément convergent pour toutes ces valeurs de x, si, à chaque nombre positif e, on peut faire correspondre un entier r tel que,

sous la seule condition

Ton ait, pour toutes les valeurs de x appartenant à l'ensemble

considéré

en désignant par P la valeur du produit infini et par P„ le produit de ses n premiers facteurs.

D'après cette définition, on voit que le précédent produit, supposé absolument convergent, est uniformément convergent si la série équivalente à ce produit

est uniformément convergente.