LES QUOTIENTS DES FONCTIONS ^ ET DES FONCTIONS
lions d, à Taide desquelles dous venons d'établir les formules de Landen et de Gauss, permettent aussi, comme Ta montré M. Hermite(*), d*obtenir des développements pour les fonctions elliptiques sn, en, dn, dont riniportance a été mise en pleine lumière par rillustre auteur.
Les formules
3r,(i;)3r,(i;)=??3r,(2Phi:), âr,(p)3r,(i;) = 22âr,(ai;|2T),
dont les deux premières sont identiques à deux des formules (XLVII3)) dont les deux suivantes sont identiques à deux des formules (XLVIIlt), et dont les deux dernières se déduisent des précédentes par le changement de t en tH- i, donnent immédiatement, par de simples divisions et en tenant compte de la définilion des fonctions cp(T), '^(t), d'une part, les relations
(*) Comptes rendus, t. LVII, p. 996, et dans son Mémoire : Sur quelques /ormuies relatives au module dans la théorie des fonctions elliptiques ( Journal de Liouville, 1* série, t. IX, p. 3i3).
ao8
cna = ^-—:
dnM = /ï"'
^'(rK)^'U)
et, d'autre part, les relations
SIII^ =
. ^^{:^)Hû) ■ y. -; H ^'(^1'^)
cna =
dnu = /^
''(rkl;.)'
^ / fl |T-f-l\
LES QUOTIBItTS DES FONCTIONS (3* ET DES FONCTIONS 3^. 209
Par un groupement convenable des termes des séries (XXXni 4) qui définissent les fonctions 2r,, Sa, 2»3, ^^, on peut déduire de ces six relations les développements donnés par M. Hermite.
En remarquant que, si l'on change t en , q devient i\/q''
on a, par exemple, pour le développement de la fonction
3i l-jT j qui figure aux numérateurs de la première et de
la dernière des six relations,
*\Ïk|'~7"/ =^'^(-0"*^ *^ <7*^ ^^ sin(a/i-hi) —
Ki * »w(/l-4-l)-f-l
= 2C« ^(-1)1 ç 8 sin(2/i-t-i) jj^,
ou, en séparant les termes de rang pair et ceux de rang impair,
Lv=o
- 2 »""^-"/"''-"^i sin(4v - I) ^ = 9.e« <7« V(— 1)^7^(17-4-1) sin(iv -h 1)^,
où dans la dernière somme Tindice v prend toutes les valeurs entières de — 00 à -I- 00.
On a ainsi les développements
2 (- i)V9^<«v^" cos(4v + 1) ;^*
T. et M. -II. li
V ^v(«v-t-l) cos( {v H- l) ^
cnu = ~ — >J'i q^
^^ ' > (— IjVyîv«c0S2V-^
y ymjv+i)sin(.îv-M)^
2 (— I)V<7VHV4-1) cos( { V -+- I) ^
2(-l)v<7v(iv-Hl)sin(4v-l-l)^
332. Pour u = o, les développemenls de cuu et ànu donnent, eu prenant préalablement les dérivées par rapport à u des numérateurs et dénominateurs des derniers membres qui se présentent sous la forme J,
y ^vfjv^-i) y 2(4v -+- i)<7*v(îv-i-ij
rV:iV-H|J
^^•'•v^i* 2(-'r(4vH-i)7
V(JV4-I)
y (— i)vyvîîvH-i' y (4vH-f)y^t»^-^»'
on a donc, pour les fonctions modulaires 'f (t), ^(t), ?'(t), •}'(t) les développemenls
LES QUOTIENTS DES FONCTIONS ^ ET DES FONCTIONS 2r. 211
Vk' ='K^) =
V(,)V<yV(ÎV+l)
^(ï)v(4vH.,)^v(îv-Hi)
V(4v-4-l)<7V{tv+i)
2(,)V(4v-Hl)yVl2V-Hl)
dont les deux premiers onl élé déduits par Jacobi des développements en produits inGnis, qui nous ont servi de définition pour les fonctions ç(t) et A(t).
333. En combinant les transformations de Landcn et de Gauss^ on obtient les expressions de sn(2w), en (2^), dn(2w) en^fonctîon de sne/, cnu^ dn^/,
/ ^ Il snMcni/ i\x\u
(I) sn>.a = j- — 7 ,
I — A* su* a
■ v-vv«;v // . cn*w — sn'i/.dn«w
( LXXXV ) /(2) cnaa = -
(3) dn 2a =
(In* // — k^ sn* Il en* u I — A* sn* u
et ces formules coïncident avec celles que l'on obtient en faisant a = u dans les formules (LXXIIIi.s).
La formule (LXVIIy) permet ensuite d'obtenir l'expression de P(2m) en fonction de p{u). On a d'abord
puis, après quelques réductions faclles>eposant sur l'emploi des formules (VII),
^pÎM4.^?y j.2^3PM
312 CALCtL DIFFÉKBNTIEL.
On aurait pu, tout aussi bien, déduire celte formule en combinant les deux formules (XXII3) et (XXIV3).
33i. Après avoir remplacé u par - dans ces formules, on en tire, par des combinaisons faciles, les relations
. w I — en w
sn* = i — »
5» I -4- d n li
. w (In w -h en a
en*- = , >
, . w X'* -H dn w -h k' en u
dn* - = : — ♦
•2 I -h dn u
dont les deux dernières résultent d'ailleurs immédiatement de la
première et des expressions de en* - > dn*- au moyen de sn* - •
L'usage de ces formules est évident; en y supposant successivement a = K, M = /Kl', on obtient
en* - — j-, »
en* — = — ; — '2 k
dn* ^ = k\
dn* — = 1 -H A:.
En se plaçant d'abord dans le cas où -y K, K' sont des nombres
réels et positifs, et en se reportant à ce que l'on a dit aux n®* 311- 312 sur les valeurs de sna, en;/, Anu quand u est réel ou purement imaginaire, on voit que l'on a, dans tous les cas,
sn - = ..
en —
sn
en
dn
^ y/iH-X'
dn - = /F,
Si d'ailleurs on adopte les conventions du n^ 32o, on voit immédiatement que les deux membres de chacune de ces égalités sont des fonctions analytiques univoques de t, et que, par conséquent, ces égalités subsistent toutes pour les valeurs de t repré-
LES QUOTIENTS DES FONCTIONS 3* ET DES FONCTIONS ^. 2l3
sentées par des points situés au-dessus de Taxe des quantités réelles.
On pourrait opérer de même pour obtenir les valeurs des fonc-
lions sn, en, dn quand l'argument est égal à — ; ; mais, pour
éviter des discussions de signes concernant les radicaux, il est plus
simple de déduire ces valeurs des formules d'addition (LXXIII),
K iK' '
en supposant u = —9 a = —\ on trouve ainsi
la dernière transformation résulte des égalités
I -h A: -h Uk = y/i -H / ( v/i — /■ H- i /i — A"), iH- A: H- X' = ^. \/ 1 -r- /{ \/ 1 -^- k'.
On trouve de la môme façon
en - - - = ;:: = y
'^' \fk ( I -+- A- -f- k' ) yj'i y/X
. K -+- iK' y/I' y/v~^k (I -H A'— ik) k/T? f , -p . , ^^^
dn = y — = — — kJ\-\- k —i\J\ — A).
i-+-A-hA' /^ ^^ " '
