On peut écrire aussi (XXVl4
îoat ( a M , co, j = îoct « H — ^ ,
lr = r,, r,, rn-\\.
Ici les nombres r^^r^y ...,r„^, sont toujours des entiers;
aucun n'est divisible par n^ non plus que la différence ou la somme de deux quelconques d'entre eux; au surplus, quand nous écrirons au-dessous d'une formule que r doit prendre, ou les valeurs r^ /v,, . . . , r„i, ou les valeurs /'i, Ta, . . ., /«-n nous
entendrons toujours, comme dans les Chapitres précédents, que ces valeurs satisfont aux conditions que nous venons de rappeler, soit dans un cas, soit dans Tautre.
La formule précédente montre que Soa(w —'^s) est une
Silo CALCUL DIFFÉRENTIEL.
fonction rationnelle de ^oa'^î on voit de même que çpy (m — » toA
est une fonction rationnelle de S^ya: c'est le produit de $py^/ par une fonction rationnelle du carré de Tune quelconque des fonctions i, comme on le voit en faisant usage des relations (XXVl5)et(LIXc).
Nous nous dispensons de multiplier les formules de cette nature qui sont implicitement contenues dans les formules (XXVI). Toutefois, nous observerons que les fonctions rationnelles ainsi formées comportent comme coefficients, en dehors des quantités e^, ('2, ^3 qui y figurent explicitement, des fonctions symétriques de
p ( -^ )' P { ^~~^ ) ' • • • ' P ~ î c^s fonctions symétriques,
comme on le verra plus tard, dépendent, lorsque n est premier, d'une équation de degré /i -f- i , dont les coefficients sont des fonctions entières de ^1,^2, e^ et même de ^2» ffz*
338. Ces formules vont nous fournir d'abord l'expression de quelques constantes dont nous allons avoir besoin. Si nous nous rappelons en effet les formules (LX2)
nous trouverons au moyen des formules du n** 336, en supposant P = 2 et, successivement, y = i , r = 3, et en faisant successive-
ment u = 103, u = — >
/ jto \ TT^" (*^*~^ ^***7
(r = Tj, 7*2, . . . , rn-i)
ou, en tenant compte des formules (LX»), pour u = — (0|, a = 3, [î = 2, Y = I et des formules (XXXVII4, XIII4),
OU encore
in ^ \ t '
LBS QUOTIENTS DES FONCTIONS tf ET DES FONCTIONS &. 217
puis
* = ÇJÎ 1 ^ W3 I = Çî3 — I I
^ \ n \ n I ^ n 3l3l ^ (ir \
(r) Çî3 l "T"*^» J
(r= ri, rj, . .., /'„,)
OU, toujours en tenant compte des formules (LX4) et (XXXVII5),
C) Çî^ l TT^i
Si Ton observe que l'on peut ajouter sans inconvénient 20), à l'argument de $23 a et que $23(0) est égal à un, on voit que le second membre peut s'écrire
"") Çî» \ -~r ^i
où Z prend n valeurs entières assujetties seulement à cette condition que la différence de deux quelconques d'entre elles ne soit pas divisible par n; on peut donc, en reprenant nos notations habituelles, écrire
(LXXXVI,) ^' = ^''*JIy.(^wi)' (/• = r„r,, ...,r,0
ou
Formons encore la quantité y/si — E3 ; rappelons-nous que l'on a(LXO
on en conclura
v/ei-E3 ^ V/i « / ^ \^/ll f /ar \
ou, en donnant à r les valeurs
2l8 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
et en observant que la dernière valeur de r met en évidcDce le
facteur ios^i = ^ on trouve, après quelques réductions
ye\ — es
immédiates,
(LXXXVI5) M = y' ^' = TT
1/1.'. — p- JL -■-
y^^^= TT ^"(^V^"')
Si Ton admet, comme on le montrera plus tard, que la quantité
pir — \y où r est un nombre entier, est une fonction algébrique
de ei, ^2, ^3, il sera évident par les formules précédentes que les quantités /, /', M sont elles-mêmes des fonctions algébriques de ^4j ^2» ^sj ou, si Ton veut, de e^ et de k\ mais il est manifeste que €{ ne doit pas y figurer; en effet, les quantités /, /', M, de même que k et k\ ne dépendent que dcT, en d'autres termes, ne changent pas quand on multiplie (0| , (O3 par un même nombre m; mais alors
Ci est multiplié par — ; par conséquent /, /', M sont des fonctions
algébriques de k seul; en d'autres termes, il existe une équation algébrique entre / et Ar, et une équation algébrique entre M et k. Ces équations sont dites respectivement équation modulaire et équation au multiplicateur.
339. Il suffit de se reporter aux formules de passage des fonctions Ç aux fonctions sn, en, dn pour obtenir les expressions de sn(«, /), cn(w, /), dn(2/, /); on obtient tout d'abord pour les constantes
(/• = n, rj, //i-i),
* sn
OU encore
