S^il existe une suite de nombres positifs ou nuls

tels que la série

soit convergente, et que l'on ait, quel que soit n, et quelle que

(*) Plus brièyemeot, uaiformémenl convergente dans Tcnseroble considéré.

SÊUIES DONT LKS TERMES DÉPENDENT d'lNK VARIABLE. 35

soit la valeur de x appartenant à ^ensemble considéré, la série

Ml -+- Ml -t- . . . -H M/, -f- . . .

est absolument et uniformément convergente pour toutes les valeurs de x appartenant à V ensemble considéré et il en est de même du produit infini ( * )

fj(l^-"/.)-

Que la série soit absolument convergente, cela est évident, {3uisque chacun de ses termes est moindre en valeur absolue que le terme correspondant d'une série convergente à termes positifs. D\in autre côté, si Ton se donne un nombre positifs, on pourra déterminer un nombre positif r tel que l'on ait

on aura donc, quel que soit/?, sous la seule condition n^r,

et, par suite,

et cela quelle que soit la valeur de x appartenant à l'ensemble considéré.

Pour ces mêmes valeurs, le produit infini