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est absolument et uniformément convergent, comme on s'en convainc de suite en comparant la série équivalente à ce produit à la série équivalente au produit convergent

JJ(«^-<f«)•

(*) WiiERSTRASS, Abhandlungen aus der Funciionenlehre, p. 70.

Mais il importe de remarquer plus généralement que si, pour un ensemble de valeurs de Xj la série à termes positifs

est uniformément convergente, et si sa somme reste inférieure à un nombre fixe A, le produit infini

sera absolument et uniformément convergent pour cet ensemble de valeurs de x^ ainsi que la série équivalente

En effet, les quantités P|, Pa, . . . , P^, . . . , P sont toutes inféjjieures en valeur absolue à

or, à chaque nombre positif e, on peut faire correspondre un entier r tel que, sous la condition n'^r^ on ait

I M/i I + I Un-^i I -h I Un+t | -+-••.< g;

on aura donc, sous les mêmes conditions,

et cela quelle que soit la valeur de x appartenant à Tensemble considéré.

25. Considérons un ensemble (E) de valeurs de ^jouissant de la propriété suivante : Quelle que soit la valeur Xq appartenant à l'ensemble considéré et quelque petit que soit le nombre positif e, il existe des valeurs de x appartenant à Tensemble (E) et telles que Ton ait

L'ensemble (E) pourra être constitué, par exemple, par l'ensemble des valeurs de x figurées par les points d'un arc de courbe, ou par les points d'une aire limitée par un contour simple.

SÉRIES DONT LES TERMES DÉPENDENT d'UNE VARIABLE. Sj

Sif(x) est une fonction de x définie pour toutes ces valeurs de x^ on dira qu'elle est continue pour l'ensemble (E) si, à chaque nombre positif a, si petit qu'il soit, l'on peut faire correspondre un nombre positif ^ tel que l'on ait

pour toutes les valeurs x^ x^ de l'ensemble (E) telles que l'on ait

26. Ces définitions rappelées, supposons que, pour l'ensemble (E), les fonctions 2/|, 1127 • • • ^ Un, ... de la variable x soient continues et que la série

Ui-+- Mj -+- . . . H- a,t -h . . .

soit uniformément convergente. La somme de cette série sera alors une fonction /(;r) définie et continue pour cet ensemble.

Soit, en eflet, Sn{x) la somme des n premiers termes de cette série, Kn{x) le reste ; on aura

Puisque la série est uniformément convergente, on peut, à chaque nombre positifs, faire correspondre un entier n tel que l'on ait

pour toutes les valeurs de x appartenant à (E) ; n étant fixé, on peut, à cause de la continuité de Sn{x) qui est manifeste dans l'ensemble (E), faire correspondre au nombre e un nombre positif t^ tel que, pour toutes les valeurs x^ x' appartenant à (E) et vérifiant la condition \x — ^' | <C ^j ^^ aît

\Sn{x)^Sn{x')\<y

On aura donc, pour ces mêmes valeurs de x,

\/{x) -f{x') I = I [S„(x) - Sn{x')] 4- R„(^) - R„(J7') I < e.

C'est ce qu'il fallait démontrer.

Si, en oulre, la série est supposée absolument convergente, on verra de même que le produit infini

JJ(I-+- Un)

définit une fonction continue de x pour l'ensemble (E).

27. Soient y(Oî ^(0 deux fonctions réelles de la variable réelle t, admettant dans Tinlervalle (/oi ^i) des dérivées finies et continues ^'(0> ^'(0- Lorsque t variera de t^ à t^^ le point dont l'affixe est

décrira un arc de courbe (C). Considérons l'ensemble (E) des valeurs de x figurées par des points de (C) et soit, en général, F(x) une fonction continue de x pour l'ensemble (E) ; en remplaçant, dans cette fonction, x par o{t) -{- i 'l{t)j elle prendra la forme

$(/), ^^{t) étant des fonctions réelles et continues de t dans l'intervalle {toi ^0* C^^^ posé, nous rappelons que l'on appelle intégrale de F(^) prise le long de la courbe (C) et qu'on représente par le symbole

/ F(x)dx l'intégrale

f\^it)-^iW{t)]\o'{t)-^iy{t)]dt

L'existence des deux intégrales qui figurent dans le second membre, intégrales où tout est réel, est certaine, en raison de la continuité.