Soit maintenant une série

SÉRIES DONT LES TERMES DÉPENDENT D^UNE VARIABLE. Sq

uniformément convergente pour l'ensemble (E) des points de la courbe (C), et dont les termes soient des fonctions continues de x pour ce même ensemble. Désignons par F(^) la somme de cette série, qui est (n** 26) une fonction continue de x. Nous allons prouver que la série

(2) I Ui dx-h I Uidx -{-. . .-i- I Undx -{-. . .y

où toutes les intégrales sont prises le long de (C), est convergente et a pour somme

F{x)dx.

Si, en effet, on désigne par S„(a:) la somme des n premiers termes de la série (i), et par R«(^) le reste correspondant, S„(x) et Rii(j?) seront des fonctions continues de x^ et Ton aura

rF(x)dx= fSn(x)dx-h CKn{x)dx, «.'c */c */c

/ S„(jr) dx — I Uidx -h j u^dx-\- . . .-\- I Un dx,

toutes les intégrales étant prises le long de Tare (C). Ceci posé, à chaque nombre positif e correspond un nombre entier positif r

tel que Ton ait

sous la seule condition n^ r, et cela, quelle que soit la valeur de x appartenant à l'ensemble considéré. On aura donc, en désignant par ^ la longueur de l'arc,

Ç\{n{x)dx

Ainsi, la différence entre

fv{x)dx

et la somme des n premiers termes de la série (2) peut être supposée moindre, en valeur absolue, que tel nombre positif que l'on

4o INTRODUCTION.

voudra, pourvu que n soit assez grand. Cela prouve, à la fois, que la série (2) est convergente et que sa somme est égale à

f¥{x)dx.

Ce théorème s'appliquera, en particulier, lorsqu'on saura que la série (i) est uniformément convergente pour l'ensemble des valeurs de Xf représentées par des points appartenant à une aire (A) limitée par un contour simple (*), et que ses termes sont, pour les mêmes valeurs de x, des fonctions continues, la courbe (C) faisant tout entière partie de l'aire A.