Considérons maintenant les séries de la forme

a© -h «1 a? -h aja?' -4- . . . -H a^ a?*» -h . . . ,

où aQ, ai, a2, • • . < an^ • . • sont des nombres fixes donnés.

Nous donnerons à ces séries, qui jouent en Analyse un rôle très important, le nom de séries entières en x, et nous emploierons le symbole

pour représenter la somme d'une telle série supposée convergente : la lettre 9 peut d'ailleurs être affectée d'indices, pour permettre de distinguer des séries particulières. Enfin, quand aucune ambiguïté ne sera à craindre, nous pourrons employer le symbole 9(x) pour représenter, non la somme de la série, mais la série elle-même, regardée seulement comme la loi de la succession de ses termes; ainsi, nous ne nous interdirons pas de dire d'une série déterminée qu'elle est divergente pour une certaine valeur de X.

On doit à Abel deux théorèmes sur les séries de cette nature, séries qui jouent, dans la théorie des fonctions d'une variable imaginaire, un rôle prépondérant.

(*) A moins que rh}*polhèse contraire ne soit expressément énoncée, nous regarderons toujours comme faisant partie d'une aire limitée par un contour les points intérieurs et les points du contour.

SÉRIES DONT LES TERMES DÉPENDENT d'uNE YARIABLE. 4^