Voici le premier de ces théorèmes

Si, pour x = bj la valeur absolue de chaque terme anb'^ de

la série

9{x) = a© -h ai 07 -»-... -h au a?» -H. ..

est moindre qu'un nombre positif fixe A, la série 9{x) est absolument convergente pour toutes les valeurs de x dont la valeur absolue est moindre que celle de b.

Soil, en effet, é' un nombre positif moindre que \b\, La série à termes positifs

est convergente. Or les valeurs absolues des termes de la série 9{x) sont, pour l'ensemble des valeurs de x qui vérifient la condition

moindres que les termes correspondants de la série (i); car les

suppositions

\anbn\<k, \x\<b'

entraînent les conclusions

On pourra donc appliquer les propositions du n^ 24, et Ton voit que la série ^{x) est absolument et uniformément convergente, pourvu que l'on ait

c'est-à-dire pour tous les points situés à l'intérieur et sur la circonférence d'un cercle décrit du point O comme centre, avec un rayon moindre que \b\.

31- Si la série 9{x) du numéro précé'dent est convergente pour x = b^ comme la valeur absolue de a^fc" tend vers zéro quand n augmente indéfiniment, il est clair qu'il existe un nombre positif A tel que l'on ait, pour toutes les valeurs de /i,

Aâ|a„6«|:

donc la série sera absolument convergente pour tous les points situés à V intérieur du cercle décrit du point 0 comme centre et passant par le point b\ elle sera uniformément convergente à l'intérieur et sur la circonférence de tout cercle concentrique au précédent et de rayon moindre.

Différentes circonstances peuvent d'ailleurs se présenter : Ou bien la série <j?(j;) considérée est convergente, quel que soit X : telle est la série

alors ^i{x) est uniformément convergente dans tout cercle décrit de l'origine comme centre, et même dans toute aire limitée par un contour simple. Cette série 9{x) représente alors ce que l'on appelle nue fonction transcendante entière.

Ou bien la série ^^{x) est convergente pour certaines valeurs de x^ sans l'être pour toutes. L'ensemble des rayons des cercles décrits du point O comme centre, et qui passent par des points pour lesquels la série est convergente, admet alors une limite supérieure R. Le cercle de rayon R décrit du point O comnfie centre est le cercle de convergence de la série ^{x). La série est convergente en tout point intérieur au cercle R; elle peut être convergente ou divergente en quelques points ou en tous les points de la circonférence; elle est divergente pour tout point extérieur. Elle est uniformément et absolument convergente pour l'ensemble des points «ilués à l'intérieur ou sur la circonférence d'un cercle concentrique au cercle de convergence et de rayon moindre. Là où elle est uniformément convergente, elle représente une fonction continue. Signalons, comme exemples, les séries

/t = ae /l = ae /t = ao

qui admettent toutes trois pour cercle de convergence le cercle de rayon un, décrit du point O comme centre. La première est divergente pour tout point de la circonférence de ce cercle, comme on le voit en posant ;r = coscj -{- « siny, et en remarquant que les deux quantités cos/?'j, sinn'^ ne peuvent avoir simultanément

zéro pour limile quand n grandit indéfiniment. La seconde est convergente, mais non absolument, pour tous les points de la circonférence (' ), sauf pour x = i . La troisième est convergente en tous les points de la circonférence.

Observons qu'une série entière en x pourrait n'être convergente pour aucune valeur de x autre que zéro : telle est la série

a- -4- I . Si J*' -T- 1 . 2 . 3 jr3 -f. . . . -f. I . vi . 3 . . . 71 J"" -H . . . ;

on dit alors que le cercle de convergence est de rajon nul.

(*) Cela résulte de la première des deux propositions suivantes, signalées par M. Darboux dans son Mémoire sur les fonctions discontinues {Annales de l'École Normale supérieure, i* série, t. IV), et sur lesquelles on peut consulter V Introduction à la théorie des fonctions de M. Jules Tannery, p. 96, n" 71 ).

Si la série à termes réels (qui peut être divergente)

(I) «,-f-flr,-f-...-î- rt,^-t-...

est telle que la somme de ses n premiers termes reste, en valeur absolue, quel que soit /i, inférieure à un nombre fixe, et si les nombres positifs e,, s,, . . . , c,, ... satisfont aux conditions

(II) ^^e,>6,^...,

(III) lim. e„ = G,

la série

(IV) a,6,4- a^s^-+-...-ha„e„ -F. . .

est convergente.

Cette dernière série (IV) est encore convergente si la série (I) est convergente et si les nombres positifs e,, e^, ..., £,,, ... satisfont seulement aux conditions (II).

On prendra, dans le cas actuel, pour e,, e,, s^, ..., s,^ ... les nombres i, -, -, ..., -, ... et, pour la série (I), l'une ou l'autre des séries (divergentes)

f 4- COS 'f 4- C05 29 H- . . . f- ces «94-...,

o-f- sin 9 -h sin 2 5) -4-. . .H- sin ;i9 -f . . . ,

dans lesquelles les sommes des (/t-4-1) premiers termes

sin 9 cos - ' sin z> sin — ■

sin - sin —

restent finies quel qae soit /i, si cp n'est pas un multiple de s k.

Enfin, nous nous contenterons d'énoncer le théorème suivant, dont la démonstration est immédiate.

Si le rapport -^^ a, pour n infini, une limite égale à R, le

cercle de convergence de la série

(i) $(.r) = ao-h aia:-+-. . .-hartiF^H-. . .

est de rajon R.