Supposons encore que la série entière en x
9(x) = a© -h ai a: -h. . .-h anX" -h. . . ,
soit convergente pour x = b. On peut affirmer qu'elle est uniformément convergente pour l'ensemble des valeurs de x appartenant au segment de droite, qui va du point o au point b. C'est en cela que consiste le second des théorèmes d'Abel, dont nous avons parlé.
Observons d'abord que l'on peut ramener le cas général au cas où b est égal à un; il suffit, pour cela, de faire le changement de variable
Quand le point x décrit le segment qui va du point o au point b, le point $ décrit, en effet, le segment qui va du point o au point 1.
Le second théorème d'Abel consiste alors dans l'énoncé suivant :
Si la série
(2) ao-f- «i-i- flî-h. . .-+- a^-H. . .
est convergente, la série entière en x,
9!(x) = a© -4- ai 37 H- ajar^-h. . .-t- artar^-h. . .,
est uniformément convergente pour l'ensemble des valeurs de X qui appartiennent à ^intervalle (o, 1), les limites de cet intervalle n'étant pas exclues.
On sait déjà, il est vrai, que la convergence est uniforme dans l'intervalle (o, a), a étant un nombre positif plus petit que i,
SfiRIES DONT LES TERMES DÉPENDENT D'UNE VARIABLE. 4^
mais les raisonnements qui précèdent ne permettent pas d'atteindre la limite i .
Cherchons donc à prouver directement que, à tout nombre positif arbitrairement donné e, correspond un entier r, tel que, sous les conditions
le reste Kn{x) de la série 9{x), limitée au terme de rang n, soit, en valeur absolue, plus petit que e.
Comme la série (2) est convergente, au nombre e correspond un entier r tel que, pour /i > r,
c'est-à-dire | R/i(i) i soit moindre que - • D'autre part, si l'on pose
et si l'on observe que- dp est la différence entre
et
on voit que l'on aura, quel que soit/?,
Cp |< £.
D'ailleurs les égalités précédentes donnent
dn-¥-p ^^ ^ p — ^ p—l î
donc la somme des/? premiers termes de R«(a:), peut s'écrire
Cl a?»+« -+- (C, — Ci)a?«+« -i- . . . H- (C^ — :fp^i)x^-^P
Si la valeur absolue de x est plus petite que i, le terme dpX"'^P tend vers zéro quand p augmente indéfiniment; on peut donc
écrire
R„(;r) = ar«+>(i — x){(fi -h (ftx ■+- a^^x^ -h . . .),
et, puisque les valeurs absolues des quantités dp sont toutes moindres que e, on aura, en supposant que x soit positif et plus petit que i,
I Rrt(a?)| <a:«+»(i— ar)(£ -+- ej: h- ex» + . . .);
or la série qui figure entre parenthèses dans le second membre, a pour somme ; on a donc, sous les conditions
En réunissant à cette inégalité celle que Ton a obtenue plus haut, sous les conditions
/i > r, X — \^ savoir
|Kn(l)|<'-<6,
on a bien démontré Tuniformilé de la convergence dans tout rintervalle (o, i), les limites n'étant pas exclues.
A cause de cette uniformité, la somme de la série est une fonction continue dans tout Tintervalle considéré, sans en exclure la limite i ; si donc x tend vers i par des valeurs positives inférieures à I , la somme de la série a pour limite la valeur de la somme de la série pour j; = i , c'est-à-dire
Par exemple, l'égalité
lOg(l -h r) = y — — -h y - . . . ,
(*) L'expression précédente du reste permet d'aller un peu plus loin, ainsi que M. Stolz l'a fait observer {Vorlesungen ùber allgemeine Arithmetik, t. II). En ne supposant plus x réel, mais en supposant toujours sa valeur absolue | x \ moindre que i, on a, en eiïet,
I ».(x) |< Ix r- 1> - a: I (« + « I a? I + 1 1 X l'-t-...) <e |^~|.
ei il est aisé de montrer que le facteur qui multiplie e reste moindre qu'un nombre fixe, pourvu que l'angle aigu des deux directions qui vont du point i aux points j; et o reste moindre qu'un angle aigu fixe.
SÉHIES DONT LES TERMES DÉPENDENT d'uNE VARIABLE. 4?
établie pour les valeurs réelles de x moindres que i, montre que l^on a
En effet, la série du second membre est convergente, donc, en vertu du théorème qui vient d'être démontré, lorsque le nombre réel X tend vers i par des valeurs moindres que i , la série
tend vers
or, dans les mêmes conditions, log(i -{- x) tend vers log2; on a
donc bien
33. Dans les deux paragraphes qui précèdent nous avons supposé la série entière en x
<i^( jr) — (lo H- «1.7- -T- ... -h ff,i^" H- . . .
convergente pour x = b : lorsqu'on sait que la série est, pour celte même valeur, a fc^o /m /72e/i^ convergente, les termes de la série *i?(j:) étant, pour l'ensemble des valeurs de x qui vérifient la condition |a:|^|6|, moindres en valeur absolue que les termes, tous positifs, de la série convergente
\a0\-h\aib\-^ ...-^\ (t„ 6" I -h ... ,
OU égaux à ces termes, on peut appliquer la première proposition du n® 24, et l'on voit de suite, sans passer par le second théorème d'Abel, que, pour l'ensemble de ces valeurs, c'est-à-dire à l'intérieur et sur la circonférence du cercle de rayon \b\ décrit du point o comme centre, la série est uniformément et absolument convergente et représente une fonction continue. Ce cercle peut d'ailleurs être le cercle de convergence ou lui être intérieur.
34. Le premier théorème d'Abel (n° 30) nous renseigne sur la convergence d'une série entière d'après les valeurs absolues des
coefGcients de cette série. Inversement, la proposition qui suit el qui est due à Cauchj lious donne un renseignement essentiel sur les valeurs absolues des coefficients d'une série entière que Ton sait être absolument convergente sur la circonférence d'un cercle.
La série ^(^) étant absolument convergente pour ^ = t, supposons que l'on ait, en désignant par A un nombre positif,
pour tous les points de la circonférence du cercle décrit du point o comme centre avec le rayon r = | 6 | ; on aura alors
I an 1 = Ar-".
Partons, en effet, de l'égalité
il est clair (n°24)que le second membre sera une série uniformément convergente pour l'ensemble des valeurs de x représentées par des points situés sur la circonférence du cercle de rayon r = \b\: on pourra donc intégrer celte série, terme par terme, le long de cette circonférence, ce qui donne
/9{x)x-'^-^dx = a^ I x-f^-^dx-hai j x-f^dx-k- ,..
-^ an l x-^ dx •+■ an^i 1 dx -r- «n-f-i / xdx-\-, ,., Je '^c Jl
toutes les intégrales étant prises le long de la circonférence. Pour évaluer ces intégrales, on posera (n°27)
d'où
é/a? = r cos ( / H- -^ ] -i- i sin ( t -\ — ) M^'»
et l'on aura, en général, en désignant par p un entier positif ou négatif,
/ xP dx = rP-*-^ I cos (/>-+- 1)^ -h " dt
irP-^\ r sin ( /> -f- 1) ^ -+- 7 r/^
SÉRIES DONT LBS TERMES DÉPENDENT d'uNB YAttlABLE. 49
Si p est différent de — i, les intégrales du second membre sont nulles ; si p= — i , le second membre se réduit à 2 iir ; on a donc (*)
ï r9{x)dx d'où
mais la valeur absolue de 9{x)x~"^^ est au plus égale à Ar"""' et la longueur du chemin d'intégration est iizr] le second membre de cette égalité est donc au plus égal à Ar"", ce qu'il fallait démontrer.
35. Voici une conséquence importante de cette formule. Si la série entière en x
9{x) = a© -f- aiX-\- atx^ -+-...-+- anX'^ -h . . .
est convergente quel que soit Xy et qu'elle ne se réduise pas à la constante Uq, sa somme ne peut rester moindre en valeur absolue qu'un nombre positif A pour toutes les valeurs de x. En effet, l'inégalité
si l'on pouvait y faire grandir r indéfiniment, montrerait que \an \
peut être pris plus petit que tel nombre positif que l'on voudra ; on
aurait donc
pour toutes les valeurs de n à partir de i .
On voit que, si l'on se donne les nombres positifs A, B, il j a au moins une valeur de x^ telle que Ton ait
Cette propriété rapproche les fonctions transcendantes entières des poljnomes entiers en :r. Il y a toutefois une différence essentielle :
(■) Cest aussi bien, comme l'on sait, une conséquence de la formule de Cauchy
•^ 2nt J^ z — x
T. et M. — I. 4
5o INTBODUCTION.
pour les fondions transcendantes entières on peut affirmer seulement l'existence d'une valeur de x satisfaisant aux conditions précédentes ; pour les polynômes, au contraire, si l'on se donne A, on peut trouver un nombre B correspondant tel que toutes les valeurs de X qui vérifient la première inégalité vérifient aussi la seconde.
