Soit

$(j') = «Q H- ai^F-h a^x^ -I- ... -4- anX^ -+-...

une série entière en x^ convergente pour les valeurs de x telles que Ton ait

9{^x) est alors une fonction continue dans tout cercle de rayon R' moindre que R ; on a d'ailleurs

si donc <7o n'est pas nul, on peut fixer un nombre S, inférieur ou égal à R', tel que l'on ait

|(e(a7)-(P(o)|<|«o| pourvu que l'on ait

Pour les valeurs de x qui vérifient cette condition, $(^) ne sera jamais nulle.

Si les coefficients r/^, «i, . . ., ap x sont nuls sans que a^ le soit,

on aura

^{x) = xP{ap -+- Op^ix -f- ap+iX^-h. . .),

et l'on voit qu'il existera un nombre positif 8 tel que, parmi les valeurs de x qui vérifient l'inégalité

zéro soit la seule pour laquelle 9{x) s'annule. Par conséquent, pour que ^i^(x) s'annule en une infinité de points distincts dont l'ensemble admette zéro pour limite (*), par exemple pour tous

(*) On dit que des points appartenant à un ensemble infini admettent l pour limite si, quelque petit que soit s, il existe dans le cercle décrit du point Ç comme centre avec un rayon égal à e une infinité de points appartenant à l'ensemble.

SÉRIES DONT LES TERMES DÉPENDENT d'uNE VARIABLE. 5l

les poids (l'uD arc de courbe qui aboutit au point o, il faut que tous les coefficients «oî ^» > ^2) • • • ? ^/u • • • > soient nuls.

Par conséquent encore, pourtous les points d'un pareil ensemble, deux séries

bo-h bix-h biX^-h. . .-h bnZ'^'\-. "

ne peuvent avoir les mêmes valeurs sans être identiques, c'està-dire sans que l'on ait a,t = bn pour toutes les valeurs de n. Il suffit, pour s'en convaincre, d'appliquer la remarque précédente à la série