Soit

Mo -*- Wi -H Mj -+- . . . -t- M/1-*- . . . = 2. "3t

une série dont les termes sont des séries entières en x^ en sorte que l'on ait, en désignant par aa,p des constantes,

i/3j= aût,o-H «a,i^ H-. . .-h a», parP-H. . . (a = 0,1,2, ...).

Si le rayon du cercle de convergence de chacune des séries «« est supérieur ou égal à un nombre positif fixe A; si en outre la

OL- m

série y] Wa est uniformément convergente pour l'ensemble des

valeurs de x qui satisfont à la condition

larKA,

oc = »

la somme de la série proposée ^ «« sera, pources mêmes valeurs

de Xy une fonction ^{x) parfaitement définie. Nous allons montrer que cette fonction peut, pour ces valeurs de x^ être développée en une série entière en x^