i a? -+- . . . -h ^na
et que les cocflîcienls de cette série sont donnés par la formule
^P= «o,p-t- «i,pH-. •.+ «», ?-+-.••= J^ «a,p»
la série qui figure dans le second membre étant convergente. On
oc = «B
voit que, sous les conditions requises, la série \] w» peut être
traitée comme s'il n'y avait qu'un nombre fini de termes.
38. n j a un cas important et fréquent dans les applications où le précédent théorème est évident : c'est celui où la série à double entrée, dont les termes se déduisent de
l«a,pAP|,
en donnant à a, p les valeurs entières nulles ou positives, est convergente.
S'il en est ainsi, la série à double entrée, dont le terme général est
est absolument convergente, pour les valeurs de œ qui vérifient la condition | j: | ^ A. En ajoutant les termes par lignes horizontales, on trouve
et en réunissant les sommes partielles on retrouve la série ^ «/«.
a=o Au contraire, en ajoutant les termes par lignes verticales, on
trouve
OL = te (X = 00
puis, en réunissant les sommes partielles, on forme la série
dont la somme est donc égale à celle de la série N «/«. C'est ce qu'il fallait démontrer.
SÉRIES DONT LES TERMES DÉPENDENT d'uNB VARIABLE. 53
Pour que la série à termes positifs, dont le terme général est
soit convergente, il faut et il suffit (n° 14) que les conditions qui suivent soient vériCées ;
1° La série à termes positifs
I «a,o 1 -+- I ûa, 1 A I + I aa,î A« I H- . . .
est convergente pour chaque valeur de a.
2** En désignant par A^ la somme de cette série, la série à
termes positifs
Ao -i- Al -+- . . . -h Aot-4- . . .
est convergente.
Observons que, s'il en est ainsi, la série \] Ma est absolument
et uniformément convergente (n° 24) pour toutes les valeurs de x qui vérifient la condition j:^A, puisque, pour ces valeurs, on a
évidemment
I w„|âA„,
en sorte qu^on est bien dans le cas du n" 24. Observons encore que la série
6o -h 6i a? -r- . . . -T- 6p icP -h . . .
reste convergente quand on y remplace les termes par leurs valeurs absolues et x par A, et que sa somme est alors au plus égale à la somme de la série
Ao-f- AiH-. . .-H Aoi-+- ....
En effet, cette dernière somme n*est autre chose que la somme de la série à double entrée et à termes positifs
et Ton a certainement
a = aB
oc =r 00
Il importe de remarquer que si les conditions (i**) et (2°), imposées dans le présent numéro à la série
. Ot ~ 00
sont vérifiées, elles sont encore vérifiées pour la série
dont les termes s'obtiennent en groupant ensemble, comme la théorie des séries à double entrée permet de le faire, les termes
de la série \] //« en nombre fini ou infini, en sorte que chacun
de ses termes figure une fois et une fois seulement dans quelque terme de la série \^ iy. En effet, si l'on effectue le même groupement sur les termes de la série
Ao -h Al -h Aj -f- . . . H- Aflt -H . . . , on la transformera en une série de même valeur
d'ailleurs v^ , qui est la somme d'un nombre fini ou infini de termes pris dans \] ?/«! est, d'après le théorème même que nous venons
de démontrer, une série entière en or, et la somme de cette série, quand on j remplace les coefficients par leurs valeurs absolues et:r par A, est, d'après une observation qu'on vient de faire, au plus égale à alu ; de même pour ^2, • . ., t'a, ... et «I.2, . . ., n^-a»
SÊBIBS DONT LES TERHBS DÉPENDENT d'uNE VARIABLE. 55
Ainsi, la série \] Vy satisfait aux mêmes conditions que la série
Qt =0
39. Plaçons-nous maintenant dans le cas général et supposons seulement que, pour Tensemble des valeurs de x qui vérifient la condition
les séries entières en x
«a = «a, 0 -+- «a, t ^ -H . . . -+- aa, p a?? -+- . . .
oc = «
soient absolument convergentes et que la série ^ Ua soil unifor-
mément convergente ( * ).
La somme des (/i -h i) premiers termes de cette dernière série est une série entière en x, convergente sous la condition |^|<; A; nous la représenterons par
en posant
Nous allons montrer que, si agrandit indéfiniment, i/t^p tend vers une limite que nous désignerons par 6p, puis, que la série
^0 -+- ^i ^ -H 6i ar' -4- . . .
est convergente sous la condition | â? | <C A. et que sa somme est égale à celle de la série
Wo -*- Wl -H . . . -t- M/» 4- . . . .
Puisque cette dernière série est uniformément convergente, on peut, à chaque nombre positif e, faire correspondre un entier positif r tel que, si on désigne par ^ et ^ +/> deux entiers plus grands que r, et d^ailleurs quelconques, on ait, pour toutes les valeurs
(•) Weierstrass, Abliandlungen aus der Functionenlehre, p. 73.
de X plus petites que A en valeur absolue,
I W«-M-+-Mii-t-îH-...-HMii+p| <E.
On a d'ailleurs, pour ces mêmes valeurs de x,
oiz=p a = p
a=rt a=:i
Soit p un nombre positif, moindre que A; Tinégalité précédente ayant lieu pour tous les points de la circonférence du cercle de rayon p et de centre o, on a (n° 34)
1 ep-P ;
la série
cTo, p -H ai, p 4- . . . -+- an, p-:*- . . .
est donc convergente, puisque la somme d'autant de termes que l'on voudra, pris après le terme de rang r, peut être supposée moindre, en valeur absolue, que tel nombre que l'on voudra. Soit 6p la somme de cette série, c'est-à-dire la limite, pour n infini, de la somme b„^^ de ses n-h i premiers termes, et soit R/t,p le reste correspondant k b„^^; on aura
Cette dernière inégalité montre, par le premier théorème d'Abel, que la série
R/ï,o-+- Rif,i^-*-- .-H R«,parP-H . . .
est absolument convergente si la valeur absolue de x est moindre que p; puisque p est seulement assujetti à être moindre que A, on voit même que cette série est absolument convergente pour toutes les valeurs de x qui satisfont à la condition
Les séries
^/», 0 + ^rt, 1 a? -1- ... -i- 6/1, p a?? -h . . .
et
R», 0 -+- Rn,i a? -f- ... -h Rrt,p arP -h . . .
étant convergentes, il en est de même de la série
obtenue en les ajoutant terme à terme; Il ne nous reste donc plus qu'à prouver que la somme de cette série est égale à la somme de la série proposée
Wo -H Ml -h . . . -i- W/» 4- . . . .
Or, si p' est un nombre positif moindre que p, et si l'on a
la somme
I R/1,0 1 H- 1 R/i,ia? I H-. . .-^- 1 Rii,pa7P I 4-. . .,
où n est toujours supposé plus grand que r, est inférieure à
p pp , ?.
p Donc la différence
R«, 0 -+- R/i, 1 37 -h . . . 4- R„, p irP -t- . . . , entre la somme
