h 61 a? -h . . . -4- ôpicP -h
et la somme
des /i -H I premiers termes de la série proposée, est, en valeur absolue, plus petite que e'.
Sous la condition que x vérifie l'inégalité
I^ISpS on a donc
d'où l'on conclut que, pour chacune de ces valeurs de x, le premier membre de l'inégalité précédente est nul, puisque le second membre peut être pris aussi petit qu'on le veut. 11 en est de même évidemment, pourvu que x vérifie l'inégalité
\x\<A, C'est ce qu'il fallait démontrer.
40. Le précédent théorème entraine une proposition analogue pour les produits infinis.
Désignons toujours par
une série entière en x^ convergente pour les valeurs de x qui satisfont à la condition | ^ | <C A. Supposons que, non seulement la
série
Mo -I- Wl H- . . . H- W,4 -i- . . . ,
mais aussi la série à termes positifs
I Mol -h |Mi|-h...H- \Un\ -h...,
soit uniformément convergente pour ces valeurs de x^ et que, en outre, sa somme reste inférieure à un nombre positif fixe. Alors le produit infini
sera absolument convergent et définira une fonction i-f-^(^)i *l{x) désignant une série entière en x^
A:© -H A"! a? -h . . . -h Apa?? H- . . . ,
convergente pour les valeurs considérées de x.
On peut, en efiel, substituer à P — i la série équivalente
Mo -f- Mj Po -+- . . . H- M„P»i-h.. .,
où Pw i est le produit des/ipremiers facteurs de P. Cette série (n"24) est uniformément convergente pour les valeurs considérées de x ; ses termes peuvent être mis sous forme de séries entières en x, en appliquant la règle de la multiplicalion des séries; on aura ainsi
remarquons, en passant, que les coefficients /t^^p regardés comme des fonctions des atj peuvent être mis sous forme de polynômes à coefficients réels et positifs. En appliquant maintenant le théorème
SÉRIES DONT LKS TERMES DÉPENDENT dY'NE VARIADLE. 69
précédent, on mettra la série équivalente à P — i sous la forme
cherchée
A'o H- A'i J? -H . . . -^ X'p.r? -h . . . , en posant
OÙ la série qui figure dans le second membre est convergente. La somme de celte série est la limite, pour n infini, de la somme de ses n -f- I premiers termes; cette dernière somme n'est autre chose que le coefficient de x^ dans le développement de
1/0-+- MiPqH-.. .h- a«P,i i =(i H- Mo)(i -î- «1).. . (j -;- /'/*) — 1;
k^ n'est donc autre chose que la limite, pour n infini, de ce coefficient; en particulier â*o+ i est la limite, pour n infini, de
P„(o) = (i-f- Cfo,o)(' -^ «1,0)... (I -+- ««,0)»
et, en supposant qu'aucun des nombres i 4-a/,,o ne soit nul, k^ est la limite, pour n infini, de
la quantité entre crochets a donc pour limite V-> en sorte que
la série
est convergente et a pour somme — ^•
11. 11 convient d'examiner le cas particulier, qui correspond au cas du n° 38, où la série a double entrée, à termes positifs,
est convergente. Il est aisé de voir qu'alors la série équivalente àP — I,
satisfait, pour les valeurs de x telles que l'on ait
6o IXTRODUCTIOX.
aux conditions i" et 2** du n° 38. En effet, en conservant d'ailleurs les notations du numéro précédent, considérons le produit inûni à termes positifs
Q=JJ(n-A„),
et la série à termes positifs, équivalente à Q — 1 ,
où Q,i est le produit des n -H i premiers facteurs de Q. Le produit A/iQ/i i pourra, par des multiplications de séries, être mis sous la forme
où les H;,^p sont les mêmes fonctions des ] aij | que les hn^p des a/ j. En vertu d'une remarque antérieure on aura donc
la série
|^/î,o|-h|^/î,i| A H-...-H|/ï/,,pI AP-f-...
est donc convergente et sa somme est au plus égale à A«Q/i|. D'ailleurs la série à termes positifs
Ao-f- A1Q0-4-. . .-h A/tQ/i-i-f-. . .
est convergente; la série équivalente à P — i vérifie donc, pour les valeurs de x qui satisfont à l'inégalité |ic|^A, les conditions 1° et 2® du n** 38 et peut donc se mettre sous la forme
Aro-f-ArjiFH-. . .-H A-parP-i-
C'est précisément le résultat que nous avons obtenu dans le numéro précédent, pour le cas général.
Il est aisé de voir que, dans le cas qui nous occupe, la série qui
fournit ^- est absolument convererente.
Enfin, en vertu d'une remarque faite au n° 38, la série
A-Q -i- Al a? -f- . . . H- Xrp a:P -h . . . ,
qui reste convergente quand on y remplace les coefficients par leurs valeurs absolues et x par A, a alors une somme qui est au
SÉRIES DONT LES TERMES DÉPENDENT D'uNE VARIABLE. 6l
plus égale à celle de la série
AoH- A1Q0-+-. . .-h A„Qrt i-4-.. .= Q — I.
Il convient de remarquer, comme dans le n° 38, que, si les conditions imposées ici au produit infini
P ={l-\- Uo)(l-h Ui) , . ,{l-h Un). . .
sont vérifiées, elles le sont encore pour le produit infini égal
dont les facteurs s'obtiennent en groupant ensemble, en nombre fini ou infini, les facteurs du produit P, ainsi que permet de le faire la théorie des produits infinis à double entrée. En efiet, si on efiectue le même groupement sur le produit infini
Q = (n- Ao)(i -h Al) . . . (I -f- A«) . . . ,
on le transformera en un produit infini égal
Q = (H- Bo){i-f- B,) . . . (1 + B/). . . ;
d'ailleurs i + ^o étant obtenu en faisant le produit d'un nombre fini ou infini de facteurs de P, pris chacun une fois, iVo peut, d'après le théorème même que nous venons de démontrer, être mis sous la forme d'une série entière en x qui reste convergente quand on remplace tous ses coefficients parleurs valeurs absolues et dont la somme est alors au plus égale à Bq; de même pour (V{, (v^, . . . et B|, B2, • . . ; enfin la série à termes positifs
BqH- Bi -4- ...-+- B|-4-. . .
est convergente; les conditions sont donc vérifiées pour le produit transformé.
42. Nous allons maintenant déduire quelques conséquences très importantes de la proposition du n** 37. Soit
une série dont le rayon de convergence est U. Pour une valeur
quelconque x satisfaisant ù la condition
|ar|<R,
la fonction ^ii^x") admet des dérivées première, seconde, etc., au sens de la théorie des fonctions d'une variable imaginaire; c'està-dire que l'expression
tend vers une limite $'(x) quand h tend vers zéro (*), que l'expression
tend, dans les mêmes conditions, vers une limite ^Jf''(^), et ainsi de suite. Les dérivées successives de ^(^) ne sont autres que les sommes des séries convergentes
I .rtj -h 'y.a^T -i-. . .H- /irt,|j^" -*-»-. . . , 1 .205-+- 2.Jrt3.r -h. . .-+-(/i — i) /ia,|X«-*-f-. . .,
Soit en effet x un nombre que nous regarderons comme fixe dans ce qui suit et dont nous supposerons la valeur absolue X moindre que R; soient Hun nombre positif fixe moindre que R — X et h une variable qui reste en valeur absolue moindre que H. Désignons enfin par Ao, A|, . . . , A„, ... les valeurs absolues de ao,
rti, . . . , a,,, D'après le premier théorème d'Abel (n® 30) la
série à termes positifs
Ao-+- A,(X-hH)-+-...-hA„(X-hH)«-+-..., est convergente et il en est de même de la série
(*) E)n d'autres termes, pour une valeur déterminée de x-, au nombre $(x) correspond un nombre ^'(a:) jouissant de la propriété suivante : à chaque nombre positif e, on peut faire correspondre un nombre r, tel que l'on ait
h sous la seule condition
On a d'ailleurs
et la somme des valeurs absolues des termes du polynôme en h qui figure au second membre, quand on y remplace h par H, n'est autre chose que A„(X -f- H)". La série
Ao-+- A,(X-hH)-h...-h A«(X-4-H)«+ ..,
étant convergente, on voit que la série ^S{x -f- A), où l'on regarde h comme la variable, se trouve dans le cas du n° 38; elle peut être mise sous la forme d'une série à double entrée absolument convergente, qui peut être elle-même ordonnée suivant les puissances de h. Les séries partielles
aQ-i- Oix -^ . . ,-{- a^x" -^ . . . , i.ai-h aajx-i-. . .-h na,|X'»-i-t-. . ., i.aaj-f- 2.3ajar-4-. . .-h(n — i ) /ia„ a?»-' -H
1 1 t j quififfurent comme -coefficients de A®, —> — > •••^ sont absolument
convergentes et, en désignant les sommes de ces séries par 9{x)^ ^(jî), Qf{x), . . . , on aura
Cette formule subsiste tant que l'on a
On déduit de cette formule la relation suivante
qui montre, puisque le second membre est une fonction continue de A, que l'on a
e t ainsi de suite.
Les séries î*'(^), ^"(^), . . . , absolument convergentes tant que Ton a
ne peuvent être convergentes pour une valeur b dex telle que l'on
ait
Si ^{x)^ en effet, était convergente pour x = b^ on aurait
lim.| nanb^ \ = o
nr=ae
et a fortiori
lim. I anb^\ = o;
par suite la série ^{x) serait convergente pour les valeurs de x satisfaisant aux conditions
Toutes les séries 9{x)^ ^'(x), ^{x), . . . ont donc le même cercle de convergence. Il peut d'ailleurs arriver que, sur la circonférence, la première série soit convergente sans que les autres le soient : c'est ce qui arrive si l'on suppose
La série
^, . X ar* a?»
convergente assurément si l'on a
peut être convergente pour d'autres valeurs de h. Ce fait sert de fondement à la théorie de la continuation que l'on développera plus tard (n*" 51-60); la proposition qui fait l'objet principal du numéro suivant résulterait immédiatement de cette théorie; toutefois nous la plaçons ici pour ne pas interrompre la suite des idées.
43. Soit 9{x) une série entière en x, convergente dans un cercle C de rayon R et dont tous les coefficients ne sont pas nuls. En un point Xt intérieur à C la fonction 9(x) ne peut pas être nulle ainsi que toutes ses dérivées.
En effet, si l'on pose
X = Xi-^ h, |A|<R — la^il,
on aura
Supposons que 9{x) soît nulle ainsi que toutes ses dérivées pour jr = j?! ; alors le second membre sera nul quel que soit A; le premier membre sera donc nul pour toutes les valeurs de x qui vérifient la condition
X — Xi\<ï{--\Xi\,
sous laquelle le développement de $(x), suivant les puissances de h = X — Xi est légitime; c'est-à-dire que ^{x) sera nulle pour lous les points x situés à l'intérieur du cercle C| décrit de Xt comme centre et tangent intérieurement au cercle C. Il en sera de même de toutes les dérivées de ^{x), ainsi qu'on le voit soit en regardant une dérivée comme la limite du rapport de l'accroissement de la fonction à Taccroissement de la variable, soit parce que l'on peut écrire pour les dérivées 9'{x)^ 9^{x)^ . . . des développements suivant les puissances de A analogues à celui de ^S!{x) que nous venons de considérer.
Si le cercle C| contient le point o, la fonction 9{x) étant nulle en ce point ainsi que toutes ses dérivées, tous les coefficients de son développement suivant les puissances de x devraient être nuls (n** 36), ce qui est contraire à l'hypothèse. Si le cercle C| ne contient pas le point o, on prendra à l'intérieur de ce cercle, sur le rayon opposé à celui qui aboutit au point Xs, un point X2 pour lequel on appliquera le même raisonnement; 9{x) devra être nulle ainsi que toutes ses dérivées pour tous les points intérieurs au cercle C2 décrit de x^ comme centre et tangent intérieurement à C. Si le cercle Ca contient le point o, la démonstration est terminée; sinon, en continuant de la même façon, on parviendra évidemment à enfermer, au bout d'un nombre fini d'opérations, le point o dans un cercle à l'intérieur duquel on saurait que la ionction ^{x) est nulle ainsi que toutes ses dérivées et l'on arrive toujours à la même conclusion.
ii. Voici maintenant quelques conséquences importantes de T. et M. — I. 5
cette proposition et qu'il faut rapprocher des résultats analogues obtenus dans le n° 36 pour le point o.
Pour X =:Xi la fonction ^S!(x) peut être nulle ainsi que ses dérivées, ^(^Ti), ^'(Xi)^ . . .; mais il existe une dérivée 9^''^{Xi) qui n'est pas nulle. En supposant que toutes celles d'un ordre moindre soient nulles, on peut écrire
ou
P(^ — j?i) désignant une série entière en (^ — j?|) qui n'est pas nulle pour xr=i X\ et qui est convergente dans le cercle C| ; on dit alors que x^ est un zéro d'ordre n de $(^).
Le point X\^ intérieur au cercle C, ne peut pas être la limite d'un ensemble infini de points pour lesquels $(^) s'annule, par exemple X\ ne peut pas appartenir à un arc de courbe, si petit qu'il soit, en tous les points duquel $(x) s'annulerait.
Deux séries entières en x^ convergentes dans le cercle C, ne peuvent avoir des valeurs égales pour les points d'un ensemble infini admettant pour limite un point X\ intérieur à C, par exemple pour tous les points d'un arc de courbe intérieur à C, sans être identiques, c'est-à-dire sans que les coefficients correspondants dans les deux séries soient égaux.
Enfin dans un cercle C concentrique à C et de rayon moindre, il ne peut exister une infinité de points distincts pour lesquels y[*(:r) s'annule : si l'on considère, en effet, l'ensemble infini que formeraient ces points, on voit qu'il admettrait nécessairement comme point limite un point intérieur à G' ou situé sur sa circonférence (*) et dans tous les cas intérieur au cercle C.
