Soit une série convergente dans le cercle C; la série

(*) C'est une généralisation facile du théorème de Bolzano {voir \ Introduction à la théorie des fonctions, de M. J. Tannery, p. 4^, n^SS).

sera convergente au moins dans le même cercle, car si, pour une -valeur particulière de x, | a^^" | tend vers zéro quand n augmente

indéfiniment, il en est de même de — — x^ . D'ailleurs, la dérivée

'-^{x) de la série ^{x) est égale à $(^); les deux séries Ç(^), ■^(ir) ont donc le même cercle de convergence (n**42). Enfin, on peut démontrer que, sur la circonférence même, la série ^(^) est convergente aux points où la série 9{x) est elle-même convergente ( * ) ; mais inversement, comme nous l'avons déjà fait observer dans le n® 42, sur la circonférence, la convergence de ^x) n'entraîne pas celle de 9{x).

De l'égalité

résulte la conséquence suivante : si l'on considère un arc de courbe y? intérieur au cercle C, défini par la relation

où la variable réelle t doit varier de ^o à t^ et où 'f (^), if{t) sont des fonctions réelles de ^, admettant les dérivées f'(^), ^'(0» ^" aura, en prenant l'intégrale le long de l'arc ^ et en désignant par Xq, x% les extrémités de cet arc qui correspondent aux valeurs Iq, ti de /,

46. Reprenons les notations du n^ 37 et considérons à nouveau

(*) C'est une conséquence de la seconde des propositions énoncées dans la note da a*31.

(*) Nous rappelons rapidement la démonstration de cette proposition, afin d'éviter, dans l'esprit du lecteur, toute confusion entre les intégrales relatives aux variables imaginaires et celles qui se rapportent aux variables réelles.

Si, pour les valeurs de x que dé6nit la relation x = (f){t) -h if^{t)f on a, en désignant par 4»(/), W(^), «P, (0> ^i(') clés fonctions réelles,

00 aura

^ [^(-r)] = ^(x) [cp'(0 + ff (O]

ou

*'(0 4- iw'it) = [*,(o 4- iv,(/)] [<?'(0 -h iY(0]

une série

UQ-h Ui-h ... -h Un -h ...

dont tous les termes (*) sont des fonctions de a: satisfaisant aux diverses conditions imposées dans ce n® 37. La somme ç(^) de cette série peut, comme on Ta vu plus haut, être mise sous forme d'une série entière en x pour les valeurs de la variable qui satisfont à la condition

Ia7|<A;

cl, par suite,

D'ailleurs on a, par définition,

or les intégrales qui figurent dans le second membre ayant le sens de la théorie des fonctions d'une variable réelle, on voit, en tenant compte des égalités ( I ), que ces intégrales sont respectivement égales à

ce qui démontre l'égalité

f9{x)dx = ^{x,)-l{^x,).

On aurait pu établir le même résultat en partant du théorème démontré au n° 28. En supposant la courbe 7 intérieure à un cercle C concentrique à C et de rayon moindre et en se rappelant que, dans ce cercle C, la série ^{x) est uni> fermement convergente, on voit qu'on pourrait écrire

J' 9{x) dx= a^ I dx -\-a^ I x dx \-. ..-h a^ 1 x" dx -k- . . - \ Y «y Y *,^y «.^Y

il resterait à établir les égalités

fx''dx= -'- (^^'-ar"*')

qui sont, au fond, des cas particuliers de l'égalité que nous voulons démontrer, mais qu'il est facile d'établir directement en se reportant à la définition des intégrales prises le long d'une courbe.

(«) Nous écrirons u^{x) à la place de i/„ quand nous aurons besoin de mettre la variable en évidence.

SÉRIES DONT LES TERMES DÉPENDENT d'uNE TARIàBLE. 69

elle admet donc (n** 42) pour ces valeurs, des dérivées ç'(^), o*(:r), ... ; nous allons montrer que, si Ton désigne par u,^^ w^, . . ., les dérivées successives de la fonction ez/i, dérivées qui existent aussi en vertu du précédent numéro, les séries

ai H- w', -4- ... -h w'

; -h WÎ -h . . . -h mJ -4- . . . ,

sont convergentes pour les mêmes valeurs de a; et ont pour sommes

Soit en effet x un nombre fixe dont la valeur absolue X soit moindre que A : soit h une variable dont la valeur absolue H reste moindre que A — X. Considérons la série

©(a* -h A) = Wo(ar H- A) -h Wi (ar -+- A) -4- . . . -h Wn(aj' -h A) +. . . , dont les termes sont des fonctions de h ; on a, d'après le n® 42,

M« . wT

d^ailleurs la série cp(^-4-/i) est uniformément convergente pour les valeurs considérées de /t ; on peut donc appliquer le théorème du n** 37 et mettre «p(^ -i- K) sous la forme d'une série entière en h ; on aura ainsi

et le théorème est démontré.

47. Supposons maintenant que, pour les valeurs de x qui satisfont à la condition

la série

soit uniformément convergente et que sa somme reste inférieure à un nombre positif fixe, le produit

P(^) = fl (!+««)

pourra, pour ces valeurs de x^ être mis sous la forme d'une série entière ; la fonction P(^) admet donc des dérivées. Pour les former, on mettra le produit infini

P(a: -i- A) = JJ [l -f- M„(ar -h A)]

SOUS la forme d'une série entière en A, ce qui, en vertu du même raisonnement que pour la série, est possible pour toutes les valeurs de h qui vérifient la condition

|A|<A-|ar|.

On a vu, n° 40, que, dans ce développement, le coefficient de la première puissance de la variable, qui est ici A, peut se mettre sous la forme

pourvu qu'aucune des fonctions

ne soit nulle, c'est-à-dire pour toutes les valeurs de x telles que P(:r) soit difl'érent de zéro. On a donc, en désignant par P'(^) la dérivée de P(^),

P{.r) I -+- Wo I -1- wi 1 -•- W/i '

et l'on voit que la dérwée logarithmique de P(^) est la somme des dérivées logarithmiques de ses facteurs. Si P(^) était nul, il faudrait que Tun des facteurs, i + Un par exemple, fût nul ; on verrait alors sans peine que la dérivée de P(^) serait donnée par la formule

c'est encore la même règle que pour un produit limité.

48. Plaçons-nous maintenant dans le cas du n° 38, où, en conservant les notations de ce numéro, la série à double entrée et à

SftBlES DONT LES TERMES DÉPENDENT D^UNE VARIABLE. 71

termes positifs

est convergente. Désignons par

prroo

ce que devient la série u,i(x) quand on y remplace les coefficients «„,p par leurs valeurs absolues; il est clair que les dérivées U^^(j:), U^(a:), ... de Uw(^) ne seront autres que les séries u,^{x)j //^(x), ... dans lesquelles on remplace aussi les coefficients par leurs valeurs absolues. On voit de suite que la série ,

©(J7 -i- A) = Uq{x -h h) -{- iii(x -¥■ h) -+-. . .H- Unix -h A) -+-. . .,

où l'on regarde x comme une constante dont la valeur absolue X est moindre que A, et A comme une variable dont la valeur absolue est inférieure ou égale à A — X, satisfait, elle aussi, aux conditions (i®) et (2°) du n^ 38; en effet, chacun de ses termes peut êlre remplacé par une série entière en h; et (1°) si, dans la série

"rt(^)-+- Unix)- H- Unix) h. ..= Uaix-\- h)j

on remplace les coefficients des puissances de h par leurs valeurs absolues et h par A — X, on formera une série dont les termes seront respectivement moindres que les termes correspondants de la série

U„(X)-rU;(X) hU;(X)^ ^ -h...= U„(A) = A«;

d'ailleurs (2**) la série

est convergente. Des lors, on peut appliquer à la série qui représente çp(x -h II) et au produit infini

P(j' -+- /i) = JJ [1 -f- a„(a^ H- A)]

les résultats obtenus dans les n°' 38, 41, et Ton a ainsi établi, sans s'appuyer sur la proposition générale du n** 37, que les séries

u'q{x)-\- U\{x)-h,, .-4- Un(x)

sont absolument convergentes tant que l'on a |a:|<cA, qu'elles représenlent les dérivées ç'(:c), ^"(^), • • • de la série ç(x) et que, en supposant toutefois P(^) différent de zéro, la série

1'{-uq{x) i-hui{x) j-f-Wn(a?)

est absolument convergente dans les mêmes conditions et représente la dérivée logarithmique de P(^).

Il est aisé de voir, en outre, que la série

Uq{x) -h U\{x)-h, ..4- Un(x)-{-. . .

satisfait aussi, ainsi que les dérivées suivantes de ^(^), aux conditions (i°) et (2°) du n** 38, pourvu qu'on remplace A par A — e, e étant un nombre positif aussi petit qu'on le voudra.

Enfin, en vertu de remarques faites dans les n°' 38 et 4f, des conclusions pareilles s'appliquent aux séries et produits infinis que l'on peut déduire de la série o(jc) ou du produit infini P(^) en groupant les termes ou les facteurs de cette série ou de ce produit.