Voici encore une conséquence du n° 37. Soient

/(>") = «0-+- «ir -^- • --^ ûr,,^»-!- .. .,

(f{x) = ^0 -»- àiX -h. . .-H bn^^ -h. . .

deux séries entières, la première eny^ la seconde en x»

Supposons, en désignant par A et B deux nombres positifs, que pour les valeurs de x qui vérifient la condition

la seconde série soit absolument convergente et que l'on ait

l?(^)UB;

supposons, de plus, que la première série soit absolument convergente pour^ = B.

La première série, quand on y regarde j^ comme égal à ?(^), est uniformément convergente pour toutes les valeurs de x qui satisfont à la condition | a: | < A ; d'ailleurs ['f (^)]''î pour ces valeurs, à cause de la règle de multiplication des séries, peut être mis sous la forme d'une série entière en x ; il en est donc de même de la fonctiony*[ç(j::)].

En particulier, on se trouvera dans le cas du n" 38, si la série à termes positifs

est convergente eX a une somme égale ou inférieure à B.

50. La proposition précédente montre que l'inverse d'une série entière en x

convergente sous la condition

fl

où C est un nombre positif, peut elle-même être mise sous la forme d'une série entière en x, quand le premier coefficient Cq n'est pas nul.

On peut, en effet, poser

y — CiX -h Cjar'-h. . .-h CnX'^-^. . ., puis écrire

9{x) co-^y co cj cj c{ pourvu que l'on ait

IrKI^ol;

on peut d'ailleurs déterminer un nombre positif D <[ C, tel que,

sous la condition

on ait

l7l<K<|co|,

K étant un nombre positif; cela résulte de la continuité de la série

dans le voisinage de :r = o. Dès lors, on voit que, pourvu que œ soit moindre que D en valeur absolue, les conditions requises pour Tapplication du théorème du numéro précédent sont vérifiées, et, par conséquent, pour ces mêmes valeurs de x, l'inverse de 9(x) est elle-même une série entière en x. Il en sera de même du rapport

où 9i(x) est une autre série entière en x, convergente lorsque Ton a I :r I <C D, comme on le voit en multipliant les deux séries

9(xy

au surplus, pour trouver les coefficients de la série égale au rapport considéré, on pourra, au lieu d'appliquer le procédé précédent, employer la méthode des coefficients indéterminés ou effectuer la division comme s'il s'agissait de polynômes ordonnés suivant les puissances ascendantes de x.

Des considérations d'une autre nature montrent que le cercle

de convergence de la série entière en x qui est égale à ^ — est la plus petite des valeurs absolues des racines de l'équation ^{x) = o.

rv. — Continuation des fonctions.

SI. Les paragraphes précédents montrent comment la considération des séries entières donne naissance à des fonctions de .r continues, admettant des dérivées. Toutes ces fonctions, obtenues par des séries entières, ou des combinaisons, en nombre fini ou infini, de ces séries, se ramènent elles-mêmes à des séries entières, et se trouvent toujours, à moins qu'il ne s'agisse de fonctions transcendantes entières, enfermées dans un cercle, le cercle de convergence de la série finale. 11 nous reste à montrer com-

SÉRIES DONT LES TERMES DÉPENDENT d'uNB VARIABLE. 76

ment on peut sortir de ce cercle : on y arrive par la notion de la continuation des fonctions ( ' ).

Soit

une série entière en x — Xq^ admettant pour cercle de convergence le cercle C©, de centre Xq^ de rayon Ro- La somme de cette série définit une fonction de x pour toutes les valeurs de la variable qui vérifient la condition

Cette série est, suivant la terminologie de M. Weierstrass, un élément de fonction analytique.

Soit, maintenant, x^ un point situé à V intérieur du cercle C©.

Si l'on fait

X — Xq= Xi — Xq-t- h^ h = X — X\y

il existera, d'après le n** 42, une série procédant suivant les puissances de A, ayant la même somme que la série proposée, et convergente tant que l'on aura

\x — a?! I < Ro — I ^1 — a^o |,

c'est-à-dire tant que le point x est à l'intérieur du cercle décrit du point Xi comme centre, et tangent intérieurement au cercle C©; nous désignerons cette série par

Les coefficients 6o> ^i? •••> ^/i? • • • ne sont autre chose que les valeurs, pour x = oti , des fonctions

Désignons par R, le rayon du cercle de convergence C, de la série $i (x — x^). Deux cas peuvent se présenter : ou bien l'on

(*) M. Méray, qui, par son enseignement et ses publications, a été l'un de ceux qui ont le plus contribué à fonder la théorie des fonctions sur la considération des séries entières, emploie l'expression de cheminement.

aura, quel que soit le point Xi intérieur au cercle C©,

Ri=: Ro— |xi — aro|; ou bien, pour certains points au moins, on aura

Ri)> Ro — I ^1 — ^o|« Dans le premier cas, dont on a d'ailleurs des exemples (*), la

(') Telle est la série signalée par M. Lerch {Acta mathematica, t. X, p. 87)

dont le cercle de convergence a pour rayon 1 : si Ton pose

a? = r(cosç -4- isinç) (r<i)

— — ^ «k< écrire, pour cette valeur de la variable,

et si Ton suppose ^ = — 2t^^ p tt q étant entiers, on voit sans peine qu'on peut

n=-q — 1 /i = oo

La seconde partie du deuxième membre est réelle et la valeur absolue de la première est moindre que q — i : la seconde partie croit d'ailleurs indéGniment quand /' tend vers un, par des valeurs croissantes; il en est donc de même de 1 ^(^) I quand le point x s'approche de la circonférence du cercle C, en restant sur le rayon qui aboutit au point dont l'affixe est

cos — aû-f-tsin — 21:;

on en conclut que ce point ne peut être situé à Vintérieur du cercle de convergence d'une série (P,(a? — a:,) déduite de 9{x) comme il a été expliqué dans le texte. D'ailleurs sur tout arc de la circonférence du cercle C^ se trouvent une infinité de points dont l'affixe a la forme précédente; tous les cercles de convergence des séries telles que (^^{x — x^) sont donc tangents intérieurement au cercle C,. Il en serait de même pour la série

et d'autres séries analogues qui se rencontrent dans la théorie des fonctions elliptiques, mais la démonstration est un peu plus compliquée. On pourra consulter sur ce sujet un intéressant article de M. Méray dans le Bulletin des Sciences mathématiques, 2* série, t. XII, p. 24^.

-fonction définie par la première série 9{x — Xq) est réellement, enfermée dans le cercle de convergence Co ; elle ne peut être continuée au delà.

Le second cas est celui qui se présente le plus souvent dans les applications élémentaires; nous allons nous y arrêter.

52. Dans le cas qui nous occupe maintenant, les deux cercles Co el C, ont une partie commune [Co,C|]. Nous allons démontrer que, en tout point Ç, intérieur à la fois aux cercles Co, C|, les deux séries 9o{x — x©), $i (x — j?i) représentent la même fonction.

D^abord, pour tout point x', situé à Tintérieur du cercle C\ décrit du pointait comme centre et tangent intérieurement à C©, les deux fonctions 9o(x — Xq), ^£\{x — ^i) sont égales ainsi que leurs dérivées. La chose est évidente pour les dérivées, si Ton regarde celles-ci comme les limites du rapport de l'accroissement de la fonction à celui de la variable. Elle apparaît aussi clairement, si Ton compare les deux développements

«r,(*'-x.)-t-^f;(a;'-ar,)-t-...--— ^«'."'(x'-x,)^....

développements où 9^^\x' — Xq), 9^"\x' — Xi) désignent les valeurs pour X = x' des /i**"*" dérivées par rapport kx de9o{x — Xo), ^i{x — Xi), et que l'on obtient en remplaçant, dans ces dernières fonctions, x par x'-\-h, puis en développant suivant les puissances de h. Ces deux séries entières en h doivent avoir des valeurs égales pour des valeurs suffisamment petites de A, eU par conséquent, doivent avoir leurs coefficients correspondants égaux (n°36). Si donc le point Ç est intérieur au cercle C\ , les deux séries ^o(^ — «^^o), ^i{x — ^i) ont même valeur en ce point, ainsi que toutes leurs dérivées.

Si Ton considère, en général, deux points quelconques x^ et Ç, on peut les supposer reliés de la façon suivante. Imaginons une suite formée par un nombre fini de points, d'ailleurs aussi rapprochés qu'on voudra.

dont les points Xi et l soient le premier et le dernier, et une suite correspondante de cercles

Ciï Ti, Fj, .••, F/i, r,

tels que le centre de chaque cercle soit le point correspondant de la suite

et que chaque cercle contienne, à son intérieur, le centre du cercle suivait. Nous appellerons la figure formée par ces cercles et leurs centres chaîne de cercles entre Xt et Ç (').

Les points Xi et Ç étant intérieurs à l'espace [Co,C|], nous supposerons la chaîne formée de cercles qui soient tous intérieurs à cet espace et qui n'en touchent même pas la limite. On pourra, si Ton veut, prendre, par exemple, les points Ç|, ^2? • • • > i/i sur le segment de droite qui joint Xi à Ç.

Ceci posé, en tout point du cercle Ci , les deux séries 9q(x — Xq), $, (x — Xi) ont les mêmes valeurs, ainsi que toutes leurs dérivées; nous dirons que, dans ce cercle, elles coïncident. Le point il est intérieur aux cercles C|, Co, C|. Si, dans Tune ou l'autre des séries 9o{x — Xq), ^i(x — x^), on remplace x par Ç, +j: — Ç, et qu'on ordonne par rapport à x — Çi, on formera deux séries identiques entières en x — Ç|. On peut représenter l'une ou l'autre par

cette dernière série converge sûrement dans le cercle Fi, intérieur aux cercles Co, C|, et y coïncide tant avec ^©(^ — «^o) qu'avec ^i(x — Xi), Le point Ça est intérieur aux cercles C©, C|, Fi. Si, dans leSjSéries ^o{^ — ^o)j ^\{^ — -^0? ^\{x — ^4), on remplace X par \^-{- X — \'i et qu'on ordonne par rapport k x — Ç^j on formera trois séries identiques entières en x — $2? et dont l'une quelconque peut être représentée par

cette dernière série converge dans tout le cercle Y 2 intérieur à

(*) Il est souvent commode de supposer que chaque cercle contienne aussi le centre du cercle précédent^ afin qu'on puisse descendre la chaîne en allant de \ à x^, comme on la monte en allant de x^ à \.

SÉRIES DONT LES TERMES DÉPENDENT d'uNE VARIABLE. 79

Co et à C|, et y coïncide avec 9o(x — ^o) et 9i{x — Xt). On continuera de Ja même façon, et l'on parviendra ainsi, par un nombre yî/itd'opéra'lions, à une série entière en x — Ç,

convergente dans le cercle F de centre S, intérieur aux cercles Co et C|, et coïncidant, dans ce cercle, tant avec 9o{x — Xq) qu'avec ^, (x — Xi ). La proposition est démontrée.

53. Nous venons de voir qu'il existe une fonction /(x) qui, pour tout point intérieur soit au cercle Co, soit au cercle Ci, coïncide soit avec ^£o{x — Xq)^ soit avec 'JP|(x — x^), soit avec les deux, si le point x est à la fois intérieur aux deux cercles.

Pour un point de la circonférence du cercle C© situé à l'intérieur du cercle C|, on doit prendre pour définition de /{x) la valeur que fournit la série $i {x — x^). A cause de la continuité, on voit que, si la série $o(-^ — -^o) se trouve être convergente en ce point, elle fournira la même détermination, comme il résulte du second théorème d'Abel , en supposant qu'on s'approche du point X en suivant le rayon du cercle Co qui y aboutit. Mais la série ^\{x — Xq) peut n'être convergente en aucun point de l'axe considéré, et il faut alors recourir à la seconde série ^JP| (x — Xi ).

Les points situés sur l'arc de cercle Ci, contenu à l'intérieur de C09 donneraient lieu à des observations semblables.

Les arcs de chacun des cercles Co, C|, qui sont intérieurs à l'autre, peuvent être effacés, et, dans l'aire limitée par les arcs restants, aire que nous désignerons par le symbole

((Go, CO),

on a défini une fonction univoque /(x), jouissant des propriétés qui suivent : En chaque point a intérieur à l'aire considérée, la fonction est finie, continue, et admet des dérivées de tous les ordres; elle est développable en une série entière en x — «, convergente pourvu que la valeur absolue àe x — a soit suffisamment petite. (On exprime souvent l'ensemble de ces propriétés en disant que la fonction est régulière en a,)

On dit aussi que la série ^i!o{x — Xq) est continuée dans le cercle Ci, hors du cercle Co, par la série <f i {x — x^ ).

8o INTRODUCTION.