Il est à peine utile de faire remarquer que, si la série

9o{x — Xq) = ao-f-ai(a7 — ar©)-!-. . .-+-a/,(a? — a?© )*-+-. • . est continuée par la série

9i(x — Xi) = bo-h bi{x — iTi )-+-.. .-h 6|,(j7 — a?t)'»-f-.. ., les séries

dérivées successives de la première, seront, de même, continuées

par les séries

9\(x-xi), (tiix-xi),

dérivées successives de la seconde.

De même encore, si l'on pose

^(x ^ Xo) = —(X'-Xii)-^-^(x — Xo)^-h...-^ ■ — ~(j7 — aro)'»-^* -+-...,

la série ^©(^ — •^'o) sera continuée, dans le cercle C| , par la série

qui, au point Xi, coïncide avec elle ainsi que ses dérivées. Dans le cas où le cercle C| contiendrait le point Xq, les deux séries qui se continuent devraient être égales pour x = Xq] on aurait alors

55. On a supposé, dans ce qui précède, que les cercles Cq, C^ étaient les cercles de convergence des deux séries ^q{x — Xq), ^JPi (j: — X\)\ mais il est évident que tous les raisonnements subsisteraient sans modification si Ton avait pris , à la place du cercle Co, un cercle concentrique de rayon moindre; puis, après avoir déduit de la même façon la série ^\{x — Xs) de la série ^Sq{x — Xq)^ à la place du cercle C| un cercle concentrique plus petit.

Si Ton continue à supposer que les cercles Cq et C^ sont les cercles de convergence des deux séries 9q{x — Xq)^ $, {x — x^ ),

SÉRIES DONT LKS TERMES DÉPENDENT D*UNE VARIABLE. 8l

on peut faire une remarque intéressante relative aux rayons Rq et R, de C© et C< :

Le cercle C| étant, au moins, intérieurement tangent au cercle Go, on a

On a, de même,

Ro^Ri — 1^1 — ^ol-

Cela est évident, si le cercle C| ne contient pas Xq à son intérieur; dans le cas contraire, celte inégalité résulte de ce que l'on aurait pu déduire la série $o(^ — ^o) de la série 9i (x — Xi ), comme on a déduit ï| {x — x^) de 9o{x — Xq); on poserait

9i(X — Xi) = 9i{Xo — Xi-h X Xo)

= 9,(Xo-x,)-^^^^^'^=^(x-Xo)-^...

(S^/^Uxo — Xi)

et la série qui figure dans le dernier membre serait identique, terme par terme, à $o(j: — Xq)^ puisque les deux fonctions ^^(x — x^),, ^^{x — Xq) doivent, pour x=zXq^ être égales, ainsi que toutes leurs dérivées (* ).

56. Si Ton prend un point x^ intérieur à Taire ((Cq, Ci)) et si Ton considère la série

entière en x — x^j qui représente en X2 et aux environs immédiats la fonction /(:r), il peut arriver que le cercle de convergence de 92{^ — ^2) dépasse Taire ((Cq, G| )), ce qui permet alors d'étendre Faire dans laquelle la fonction /(j?) est définie. Et l'on peut continuer ainsi. On concevra d'ailleurs plus facilement la possibilité de cette extension par les remarques que nous allons faire dans ce numéro et dans le suivant. Considérons une portion (A) du plan, limitée par un ou plu-

(') Si l'on donne au point x^ les diverses positions qu'il peut occuper dans le cercle C^, à chaque position correspondra une valeur pour R,. Il résulte de la remarque précédente que la limite supérieure de Tensemble des valeurs de H, est 2R,. On démontre que la limite inférieure de cet ensemble est 0, limite qui n'est d'ailleurs atteinte pour aucun point intérieur à Co-

T. et M. — I. 6

sieurs contours, mais d'ailleurs co/i/iej:e, c'esl-à-dire telle que l'on puisse toujours joindre deux points intérieurs à (A) par une ligne brisée située tout entière dans (A) et n'en rencontrant pas le contour.

Supposons qu'une fonction /(j:*) soit définie pour tout point a appartenant à (A) ou à son contour, et soit telle qu'il existe une série $« {x — a), convergente pourvu que la valeur absolue Aex — a reste inférieure à un certain nombre positif fixe r, indépendant de a, aussi petit qu'on le voudra, et que cette série ait les mêmes valeurs que f{x) dans le cercle de centre a et de rayon r(*). Nous dirons que la fonction /(j?) est holomorphe dans l'aire (A), et sur son contour.

Soit une seconde fonction f (or) aussi holomorphe dans l'aire (A) et sur son contour, le rayon de convergence des séries entières par lesquelles on peut l'exprimer aux environs de chaque point étant aussi au moins égal à r.

Si en un point a, intérieure (A), les deux fonctions /(j:), çp(^) sont égales ainsi que toutes leurs dérivées, elles coïncident en tout point de Taire (A).

Autour de ce point a, en efiet, dans un cercle de rayon égal ou inférieur à r, les deux fonctions sont représentées par la même série entière en :r — a; soit maintenant 6 un autre point intérieur à (A), on pourra relier les deux points a, b par une chaîne de cercles^ tous de rayons inférieurs à /* et tous intérieurs à Taire (A). Dès lors, le raisonnement employé dans le numéro précédent pour

(*) Toutes les restrictions que nous faisons ici, comme le lecteur s'en convaincra sans peine, ne sont pas nécessaires; elles sont faites pour faciliter le raisonnement dans une théorie dont nous ne voulons exposer que les parties les plus essentielles.

Ainsi la fonction /(a?), définie dans l'aire ((C„, C,)), dans le n" 53, ne satisferait aux conditions imposées que si l'on substituait aux cercles C,, C^ des cercles respectivement concentriques, mais de rayons moindres.

Ajoutons encore qu'en parlant de courbes qui servent de contour ou de lignes d'intégration, nous supposerons toujours que l'on a affaire à des lignes formées d'un nombre fini d'arcs de courbes simples, comme des portions de droites, d'arcs de cercles, etc., ou, plus généralement, d'arcs de courbes analytiques, c'est-à-dire telles, que les coordonnées rectangulaires d'un de leurs points puissent s'exprimer par des séries entières, à coefficients réels, par rapport à un paramétre réel ty lequel ne doit varier que dans les limites où ces séries sont absolument convergentes.

SÉRIES DONT LES TERMES DÉPENDENT d'DNB VARIABLE. 83

prouver que, au point Ç, les deux séries ^^{x — x^), $4 (x — x^) avaient même valeur, ainsi que toutes leurs dérivées, subsiste évidemment; en allant de cercle en cercle, on voit que les deux fonctionsy(:r), <f{x) sont représentées, dans chaque cercle, par la même série entière. On voit aussi d'ailleurs que ces deux fonclioDs doivent coïncider sur le contour de (A).

En particulier, si 9a(x — a) est la série entière en x — a qui représente la fonction /(x) dans le cercle de rayon ret de centre a, r égalité

devra subsister pour tous les points x qui sont à la fois situés à l'intérieur du cercle de convergence de la série et à l'intérieur de (A). Si l'on considère un cercle de centre a et situé tout entier à l'intérieur de (A), l'application évidemment légitime de la formule de Cauchy

'HT. J z — X

où l'intégrale est effectuée le long de la circonférence de ce cercle, dans le sens direct, montre que l'on a, pour tous les points x intérieurs à ce cercle,

x — ay f -J-^^dz^,.., ^ J {z-af

Le second membre n'est autre chose que la série 9 a (^ — o) cl Ton voit que le rayon du cercle de convergence de cette série est au moins égal à la plus courte distance du point a au contour de (A) ( •). Le rayon du cercle de convergence est même nécessairement un peu plus grand, en raison de l'hypothèse qui a été faite sur la façon dont la fonction /(x) se comporte sur le contour de (A).

Si maintenant on part d'un point b intérieur à la fois à (A) et au cercle de convergence de la série $a(a: — a), et que l'on forme

(*) Cette dernière conclusion pourrait se déduire, en ne faisant intervenir que des propositions appartenant à la théorie môme des sériesi du théorème énoncé dans la note du n« 55.

la série

q!^(x — b) = (Sa{b - a) -f- ^^(^ — ^> (ar— a)

on aura

pour tous les points x situés à la fois dans (A) et à l'intérieur du cercle de convergence de la série ^Sb{x — 6), en sorte que, dans (A), la continuation de la fonction $a(x — a), effectuée comme il a été expliqué dans les n*^^ 52 et 53, sera toujours fournie par la fonction /(x).

Supposons enfin que l'aire (A) soit limitée par un contour simple. Alors, si Ton part du point a intérieur à (A) pour aboutir, en suivant une courbe y dont tous les points appartiennent à (A), à un pointa: appartenant aussi à A, l'intégrale

f/{x)dx= f f{x)dx

sera, comme il résulte du théorème fondamental de Cauchy sur les intégrales prises entre des limites imaginaires, indépendante delà courbe (y); elle définira donc une fonction F(a:), univoque dans l'aire (A) et Ton sait, par la théorie de Cauchy, que cette fonction est holomorphe dans (A).

On arriverait assez facilement à la notion de cette fonction F(j:) en continuant dans l'aire (A) la série ^{x — a) entière en {x — à) qui a pour dérivée, dans le cercle de centre a et de rayon r, la série ^u{^ — «) et cela en suivant un procédé qui sera expliqué tout au long au n" 64; nous laisserons ce soin au lecteur.

57. Considérons maintenant deux portions du plan (A), (B) limitées chacune par un contour simple et deux fonctions /(x), cp(j:) holomorphes chacune dans Taire correspondante et sur son contour, au sens qui a été fixé dans le dernier numéro.

Supposons que les deux aires (A), (B) empiètent l'une sur l'autre et qu'en un point a intérieur à la fois à (A) et à (B), les deux fonctions/(j:), (p(5:') soient égales ainsi que toutes leurs dérivées correspondantes. Alors il est clair, par le numéro précédent,

que les deux fonctions ne cesseront pas de coïncider, ainsi que toutes leurs dérivées dans toute la région (C) commune à la fois à (A) et à (B), et dont les différents points peuvent être reliés à a par une ligne brisée dont tous les points appartiennent à la fois à (A) et à (B).

Supposons d'abord que les deux aires (A) et (B) niaient pas d'autres points communs que ceux qui appartiennent à la région

(C) ainsi définie : on pourra effacer la partie du contour de (A) qui est dans (B), celle du contour de (B) qui est dans (A) et dans

Taire

dont les points appartiennent soit à (A) soit à (B), on aura défini une fonction holomorphe F(^), égale à f{x)^ à <p(x) ou aux deux fonctions y(j;) et ^(o:), suivant que le point x est dans (A), dans (B), ou à la fois dans (A) et dans (B).

Mais, si les deux aires (A) et (B) ont une autre région commune

(D) telle que l'on ne pût y pénétrer en partant de a et en restante) la/ois dans les aires (A) et (B), rien, dans ce qui précède, n'autorise à dire que, dans cette région (D), les deux fonctions /(or), ç(jr) coïncident. 11 pourra, suivant les circonstances, en être ou n'en être pas ainsi, et il faudra se garder, dans ce dernier cas, d'effacer les portions du contour de (A) ou de (B) qui limitent la région (D). On voit, sans que nous insistions davantage, comment s'Introduit de cette façon, la notion de coupure, que nous supposons d'ailleurs familière au lecteur.

S8. Donnons un exemple des méthodes et propositions qui précèdent. Partons de la série

dans laquelle le cercle de convergence C a évidemment l'unité pour rayon. En un point x intérieur à ce cercle, on a pour les dérivées successives

<S'(x)=: I — ar-+-a?« — ... = ,

et par suite, Xi étant un point intérieur à G,

On voit d'ailleurs que la série

entière en a* — Xi, est convergente tant que Ton a

c'est-à-dire tant que le point ^est situé à l'intérieur du cercle C|, décrit du point Xi comme centre et passant par le point — i . Ainsi le cercle de convergence de la série

est généralement extérieur en partie au cercle C, et l'on a ainsi un premier moyen de continuer la fonction $(^) en dehors du cercle C, moyen dont on pourra d'ailleurs poursuivre plus loin l'application.

D'autre part, si x' est un point quelconque extérieur ou intérieur au cercle C, mais dont toutefois l'affixe n'est pas réelle négative et plus petite que — i (ou = — i), la série

entière en jc — jc', est convergente tant que x vérifie la condition

c'est-à-dire tant que x est situé à rintéricur du cercle C décrit de x' comme centre et passant par le point — i; et comme la dérivée

par rapport à x de ^i* ( , ) est égale à

SÉRIES DONT LES TERMES DÉPENDENT d'uNE VARIABLE. 87

les fonctions

ont en x toutes leurs dérivées égales; on en conclut que, en désignant par a une valeur de x vérifiant à la fois les conditions

|a|<i, |a-a7'|<|i-Ha:'|, les deux fonctions

coïncident ainsi que leurs dérivées au point a. Elles coïncident, par conséquent, dans toute la région commune à deux cercles respectivement concentriques aux deux cercles C et C et de rayons un peu moindres; par suite enfin, en un point quelconque de la région commune aux deux cercles C, C, laquelle contient le point a. Si Ton efface les portions des deux circonférences C, C dont chacune est intérieure au cercle dont elle ne fait pas partie, on a défini

dans Taire

une fonction unique f{^x) holomorphe dans celte aire mais non sur le contour.

Si l'on avait pris comme point x^ un point d'affixe réelle négative et plus petite que — i, il n'existerait pas de point a; c'est pourquoi nous avons exclu ces valeurs de x' ,

Si l'on considère maintenant un autre point ai' tel que la circonférence Ç! décrite du point a:" comme centre et passant par le point — I n'ait aucun point ëommun autre que ce dernier point avec la région [C, C], commune aux deux cercles G, C, et, si l'on désigne par b un point intérieur à la fois aux deux cercles C, C, on voit que les deux aires limitées par des contours simples, C et ((G, G')), auront en général deux parties communes : Tune contient le point b\ les points de l'autre ne peuvent être reliés au point b sans franchir le contour de l'une ou de l'autre des deux aires. Dans la première, les fonctions /(^) et

coïncident; rien n^autorise à dire qu'elles coïncident dans la seconde, et, en effet, elles n'j coïncident pas. Nous le savons, d'ailleurs, par les propriétés bien connues de la fonction non univoque log(i 4- x)j et nous ne nous arrêterons pas à montrer comment le procédé précédent pourrait permettre de le reconnaître directement.

59. Il nous reste encore, pour terminer ce sujet, à expliquer ce qu'il faut entendre par continuer le long d^une courbe une fonction définie par une série 9q{x — x^^), entière en x^.

Supposons que les points x^, x^j . , ., x„ soient les centres respectifs des cercles Cq, Ci, . . ., C^ formant une chaîne {n? 52), c'est-à-dire tels que chacun de ces cercles contienne le centre du cercle suivant; supposons, en outre, que les séries

soient respectivement convergentes dans ces cercles, et que chacune ait été déduite de la précédente par continuation, de sorte que l'on a, par exemple.

Enfin, supposons les points OToy ^1, . . », x„ situés sur un arc de courbe (S), commençant au point Xq, finissant au point Xn et satisfaisant aux conditions suivantes :

A chaque valeur de l'arc s, compté à partir de Xq^ correspond un point unique de la courbe. En se déplaçant sur la courbe de façon que Tare s grandisse d'une manière continue, on rencontre successivement, et dans l'ordre indiqué, les points 0^0,^1,^2, ...,;r«, en décrivant successivement les arcs XoXt, X|X2> •••> Xn^^Xnj respectivement contenus à l'intérieur des cercles Co, C|, ..., C,i i. S'il arrive que deux de ces arcs se croisent, on regardera comme essentiellement distincts le point du premier et le point du second arc qui coïncident; ces deux points se distingueront par la valeur de l'arc 5, qui n'est pas la même pour l'un et pour l'autre. Convenons encore, si Ç est un point quelconque de la

SÉRIES DONT LES TERMES DÉPENDENT d'UNE VARIABLE. 89

courbe (S) correspondant à la valeur <^ de l'arc 5, et si (y) est un cercle décrit du point Ç comme centre, d'appeler arc de la courbe intérieur au cercle (y) la portion de cette courbe que l'on décrit en faisant croître ou décroître s à partir de d, jusqu'à ce qu'on rencontre la circonférence du cercle (y); s'il y a d'autres points de la courbe intérieurs au cercle (y), on n'en tiendra pas compte.

Ceci posé, nous définirons sans ambiguïté, pour tout point x de la courbe (S) correspondant à un arc s donné, une fonction /(x), par cette condition que, si le point x appartient à l'arc x/j:i^.i , la valeur de/{x) soit égale à celle de 9i(x — Xi).

La fonction /(j:) jouit de la propriété suivante : Si l'on considère un quelconque Ç des points de (S) correspondant à la valeur a* de l'arc s, il existera un cercle (y) de centre Ç, de rayon p indépendant de (3*, et une série w(x — $) entière en x — Ç, telle que Ton ait

pour tous les points de Tare de la courbe (S) intérieur au cercle (y). Il suffira, en eflet, de prendre pour p un nombre inférieur à chacun des nombres S|, 82, . . ., 8;j i, où S/ désigne la plus courte distance d'un point de l'arc XiXi^t à la circonférence du cercle C/, et, en supposant que Ç appartienne à ce dernier arc, de prendre pour la série Tiy(x — Ç) la série qui se déduit de 9i{x — ^1), en substituant x — $ -h S — Xi k x — jp/, et en ordonnant suivant les puissances de x — Ç.

Toute fonction /{x) jouissant de la propriété précédente est entièrement déterminée dès qu'on se donne la courbe (S) et le premier élément 9o{x — Xq), ou, ce qui revient au même, les valeurs des dérivées successives de la fonction /(j;) au point Xq. On s'en convaincra sans peine par un raisonnement employé déjà plusieurs fois, en s'avançant successivement sur la courbe (S) à partir du point Xq, et en formant une chaîne de petits cercles de rayons égaux à p dont les centres soient sur (S), et se succèdent dans un ordre tel qu'on les rencontre successivement en marchant sur la courbe dans le sens des arcs croissants à partir du point j:*o-

On voit, d'après cela, que si, pour continuer la fonction $0 (^ — -2*o) jusqu'au point x„^ on avait pris sur la courbe (S) une autre suite de points x\^ x^^ . . ., x'^ Xn correspondant à des

valeurs toujours croissantes de l'arc 5, de manière à obtenir, toujours par le même procédé, une suite de séries entières en

•*' "^^ I j 2j • • • > *^ """" B j eniin ^ "^^ »ju/i»

<i^o(x-Xo), Pi(T-xi), P,(a7-a7i) Pp(x — x'p\ Pn(ar-x„),

la dernière série ne peut qu'être identique à la série 9„{x — Xn)y trouvée au moyen de la première suite de points. On a ainsi une idée très nette de ce qu'est la continuation d'une fonction, donnée par un premier élément $o(^ — ^o)^ quand on suit une courbe déterminée, en supposant que cette continuation puisse se faire.

On conçoit d'ailleurs que, en suivant deux chemins différents pour aller du point Xq au point x,t<i on parvienne en ce point avec deux séries différentes, entières en x — Xn^ quoiqu'on soit parti du même élément 9o(x — ^o)-

Si la courbe (S) fait partie d'une aire (A) dans laquelle on ait défini (n°56) une fonction/(x) holomorphe dans (A) et sur le contour, et si l'on part de l'élément 9o{x — Xo), qui coïncide au point Xq et aux environs avec /(x), il est clair que la fonction que l'on définira ainsi le long de la courbe (S) coïncidera toujours avec f{x)^ et, dans ce cas, si l'on aboutit au même point Xn en suivant deux chemins différents, appartenant tous les deux entièrement à l'aire (A), on arrivera en Xn avec la même série

*« (-^ — Xn)»

60. Reportons-nous maintenant au commencement du n° 56, où, en partant d'un élément 9q{x — Xo), nous avons cherché à continuer la fonction que définit cet élément dans le cercle de convergence.

Il peut se faire qu'on parvienne, par une série de continuations successives, à définir dans tout le plan, sauf certains points, certaines lignes, certaines régions, une fonction univoque et régulière partout, sauf pour les points, lignes et régions exclues. Quant aux lignes de discontinuité, elles peuvent être de diverses natures : les unes ne pouvant être traversées en aucune façon, comme dans l'exemple de la note du n** 51 , tandis que les autres, qui séparent deux régions dans lesquelles la fonction est définie, pourraient être traversées sans obstacle par une ligne suivant laquelle on pourrait continuer la fonction par le procédé

SÉRIES DONT LES TERMES DÉPENDENT D'uNB VARIABLE. 9I

du numéro précédent, en partant d'un élément relatif à un point de la première région, mais avec cette circonstance, que les séries que l'on trouverait ainsi, après avoir traversé la ligne de discontinuité, ne coïncideraient plus avec les séries qui définissent la fonction dans la deuxième région.

Nous ferons encore la remarque suivante : Soit ^ ( -) une série entière en -> convergente tant que Ton a

OÙ A est un nombre positif. Désignons par X la région extérieure au cercle de rayon A décrit du point O comme centre. On

observera d'abord que la série ^ ( - ) définit une fonction de la

variable x holomorphe dans toute aire limitée qui fait partie de X sans en atteindre la limite : cela résulte, si Ton veut, du théorème du n® 49 sur la composition des séries. Imaginons maintenant que, en partant par exemple d'un élément de fonction Ïo(j: — oTq) et en appliquant le procédé de continuation, on parvienne à une série ^«(^ — ^a)» pour laquelle x^^ appartienne à <Â> et telle que, pour tous les points du cercle de convergence de celte série situés dans Jl», on ait

il est clair qu'on pourra alors appliquer la proposition du n** 57 et que, si l'on continue l'élément ^^{x — Xy) en restant dans cilo, par exemple au moyen d'une chaîne de cercles tous situés dans A, on trouvera toujours des séries $p(iC — xp) pour lesquelles on aura

dans la région où les deux membres ont un sens, et l'on pourra regarder l'élément ^(-) lui-même comme fournissant la continuation de la fonction, dont la partie que l'on considère est dite alors régulière au point oo.

M. Weierstrass entend par yb/icf/o/i a/ia/^^/qrwe l'ensemble de

ga INTRODUCTION.

toutes les séries telles que

9a{x-Xa\ «(i)

que Ton peut déduire par continuation, soit d^une -façon, soit d'une autre, d'un élément 9o{x — ^o)- Nous avons déjà fait observer, et nous le répétons ici, que, dans celle expression yb/iction analytique, le mot fonction n'a nullement le sens que nous avons donné à ce mot dans ce Livre, et qui indique seulement une correspondance entre deux variables telle que Tune des variables, la variable indépendante, étant donnée, l'autre variable, la fonction, soit donnée. C'est ce dernier sens que nous conserverons toutes les fois que l'épithète analytique ne sera pas accolée au mot fonction.

Il résulte bien nettement de ce qui précède que l'ensemble des séries, qui constitue une fonction analytique, est déterminé quand on se donne une de ces séries ; en d'autres termes, une fonction analytique est déterminée par l'un de ses éléments. Comme on peut continuer une fonction en revenant sur ses pas et passant de Xn à ^07 au lieu de passer de Xq à Xn, on voit bien que la fonction analytique est déterminée par un quelconque de ses éléments.