V. — Application aux équations différentielles linéaires

61 . Le procédé de continuation d'une fonction donnée par un élément 9o{^ — ^o)y c'est-à-dire, au fond, par la suite des coefficients d'une série entière en x — Xq^ n'est guère applicable directement pour reconnaître les propriétés de la fonction qu'on engendre ainsi, en raison de la complication évidente des calculs quand on passe d'une série à une autre, et l'importance de ce procédé est surtout théorique. Il sert, par exemple, de base pour établir l'existence de fonctions définies par des équations différentielles.

Nous n'avons nullement l'intention d'exposer la théorie de ces fonctions. Nous nous bornerons, pour donner un exemple, à considérer les équations différentielles linéaires et à établir le théorème fondamental relatif à l'existence des solutions de ces équa-

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lions ('), théorème qui nous sera utile plus tard : nous nous conlenlerons, d'ailleurs, uniquement pour éviter quelques longueurs d'écriture, d'examiner le cas d'une équation différentielle du second ordre. Les raisonnements qui suivent s'étendent, sans difficulté aucune, aux équations d'ordre supérieur. Soit donc

une équation différentielle linéaire homogène du second ordre. Supposons que p eiq soient des fonctions de x développables en séries entières en x — x^ absolument convergentes pour toutes les valeurs de x qui satisfont à la condition

Nous allons montrer que, en désignant par u^ et M| deux nombres arbitraires, il existe une série de la forme

ao-+- Ui{x — Xq) -¥■ iit{x — XqY -\- u^{x — x^Y-\-,..,

dans laquelle les coefficients i/j, W3, ... sont parfaitement déterminés, convergente pour toutes les valeurs de x qui satisfont à la condition précédente (sauf, peut-être, celles pour lesquelles l'égalité a lieu), et qui, pour toutes ces valeurs, vérifie identiquement l'équation différentielle.

On voit d'abord, en faisant le changement de variable

qui change l'équation proposée en une autre de même forme, que Ton peut se borner à examiner le cas où l'on a

iTo = o, R = I .

Soient donc, dans cette hypothèse,

p = pa-^ P\X ^ p^x'^ -\- . . .,

(•) La théorie des équations différentielles linéaires, au point de vue des variables imaginaires, est due à M. Fuchs, qui l'a développée dans une série de Mémoires dont le premier se trouve dans le tome G6 du Journal de Crelle.

les séries à termes positifs

Q = kol -+- 1 ç'i I -+-.-.-+- 1 y«l ^-- • •

étant convergentes.

Cherchons à satisfaire identiquement à l'équation différentielle par une série de la forme

y r= Mo -h U\X ->t- Mj Jr* -h . . . ,

Wo> W| étant des nombres donnés. En prenant les dérivées première et seconde, puis substituant dans l'équation différentielle et écrivant qu'elle est identiquement vérifiée, il vient

\ .o.ui-\- pfiU\-\- q^Ufi= o,

Ces équations, où l'on doit regarder Wo, U\ comme des données, déterminent successivement et sans ambiguïté les coefficients «/,, //3, . . . , ?/,i, . . . , et si la série

1/0-4- U\^ -4- Wî^r'-f-, . .

ainsi formée est convergente, il est clair qu'elle vérifiera l'équation différentielle. Nous allons montrer qu'elle est absolument convergente pour l'ensemble des valeurs de x qui satisfont à la

condition

Soient, en effet, A et B des nombres positifs supérieurs ou égaui^ respectivement à P et à Q, et, par conséquent à \pn\', \Qn\ pour toutes les valeurs de n\ soient, en outre, i'o et k\ deux nombres positifs égaux ou supérieurs à | ;/o| et | ;/| |. Considérons les équations

S6RIES DONT LES TERMES DÉPENDENT d'uNE VARIABLE. ^5

(n — i)nvn = (n — i) Ap„, -4- [(/i — 2) A -f- B] v„-2 -f- [(/i — 3)A -h B] p«3-i-. . .-h (A -4- B) t», -^ Bpo,

il est clair que, si Vou détermine les quantités (^2> ^3» • • • ? ^'«j • • • par ces formules, tous les nombres ainsi trouvés seront positifs et que Ton aura

or l'équation qui détermine ç„ peut s'écrire

(n — i)nvn= A[(/i — i)t'„,^-(/i — 2)p«iH-...4- vi\

en retranchant, membre à membre, de celte équation celle qu'on en déduit en changeant n en n — i, il vient

(n — i)nvn= (n — i)[A-^ n — i]i>„-i ■+- Bvn-i\

ainsi, il suffît de supposer A;>2, pour que Vn soit supérieur à i'/r.i) quel que soit /i, supposé toutefois plus grand que un. On a d'ailleurs

A-I-/1 — 2 (n — i)(A-h/i — 2) Vn '

le rapport -^—^ étant inférieur à un, on voit que, lorsque n aug-

mente indéfiniment, le premier membre a pour limite l'unité; par suite, si .r' est un nombre positif plus petit que un, la série

est convergente; la série

Mo -+- Ml 27 -h . . . -H W;,a7'»-H. . .

est donc absolument convergente si la valeur absolue de x est moindre que un. Le théorème est démontré.

62. La valeur de Un tirée des équations (I) est évidemment de la forme

OÙ X>n, etofb/i sont des fonctions des coefficients />09 Pkj "i ^o?

</,, Si l'on suppose «4=0, Uo = i', u„ se réduit à X„] de

même il se réduit à jS^n si i/o = o, m, = i ; il résulte par conséquent du théorème précédent que les séries

X (a?) = I ■+■ Xiar'-f- Xsar'-h. . .H- Xn^r^-t-. . .

sont convergentes pour les valeurs de x qui vérifient la condition

et la forme générale des solutions de l'équation difierentielle, qui peuvent être représentées par une série entière en x^ sera

f(x) = UoX{t)-\- Ui '\i\>{X)j

où //o, W| sont des constantes arbitraires égales aux valeurs pour ^* = o de/(x) et de sa dérivée.

Le fait que les coefficients de la série /(x) sont déterminés quand on se donne les deux premiers, n'est que la traduction de celte proposition évidente a priori : si une fonction est assujettie à vérifier l'équation différentielle

les valeurs de ses dérivées seconde, troisième, ... en un point sont déterminées quand on se donne les valeurs en ce point de celte fonction et de sa dérivée première; cela résulte pour la dérivée seconde de l'équation

elle-même, pour la dérivée troisième de celle qu'on en déduirait en la différen liant, etc.

63. Supposons que les coefficients /?, q de l'équation difierentielle soient des polynômes entiers en x ou des fonctions transcendantes entières. Il existera une fonction satisfaisant à l'équation différentielle linéaire, prenant ainsi que sa dérivée au point j'^^Xq des valeurs arbitraires Wq, U\ et développable en une série entière en x — Xqj convergente dans un cercle de rayon arbitraire, c'est-à-dire dans tout le plan. La solution générale de l'équation différentielle sera une fonction transcendante entière.

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