Supposons que y? et q soient des fractions rationnelles

o(ar), ^(x), 6(j?) étant des polynômes entiers n'ayant pas de facteur commun. Soient ai, ag, ..., a^ les racines distinctes de

Féquation *

soit enfin x© ui^ point du plan distinct des points ai, a2, . . . , a^. Si R désigne un nombre positif moindre que tous les nombres

les fonctions y? et q pourront être développées en séries entières en X — j^Oî absolument convergentes pour les valeurs de x qui vérifient la condition

il existera donc une fonction ^f^ i^x — ^r©) vérifiant Téquation différentielle, prenant pour x = Xq^ ainsi que sa dérivée, des valeurs arbitrairement choisies Xq, u.©, et convergente pour les valeurs de X qui satisfont à la condition

X — Xo I <! R.

Ceci posé, imaginons une courbe (S) partant du point Xqj ne passant par aucun des points ao, ai, ..., ctp. Il est aisé de voir qu'on pourra continuer la fonction $o(^ — «^o) tout le long de celte courbe. Soit, en effet, 8 un nombre plus petit que les plus courtes distances des points ai , aj , . . . , a^ ^ la courbe (S); considérons une chaîne de cercles Co, C|, . .., Cn ayant respectivement leurs centres aux points x©, ^i, . . ., x„ de la courbe (S), et rencontrés successivement par un mobile qui partirait du point a:o et décrirait la courbe dans le sens des arcs croissants (n** 59). Dans le cercle C© la série tfo (^ — ^o) vérifie l'équation différentielle; cette fonction prend, avec sa dérivée, au point x^ intérieur à Co, les valeurs X|, [jl, ^ soit 9i {x — :p,)la série entière en ^ — Xi qui vérifie Téquation différentielle et dont les deux premiers coefficients sont X| et [ji| ; au point ^Ti, les séries $o(^— ^^o) ^^

T. et M. r- I. 7

Çi (x — X{) coïncident ainsi que toutes leurs dérivées; $1 {x — x%) ne dif}(ère donc pas de la série obtenue en remplaçant, dans

*o (^ — ^o)> X — Xfi par

X\ — Xq-\- X — X\

et développant suivant les puissances entières de x — x^. On continuera ainsi de proche en proche, et l'on arrivera en Xn avec une série déterminée ^n (^ — ^n)j qui peut être regardée comme déduite de ^i^ {x — x^) par le procédé de continuation, en cheminant le long de la courbe (S) (n** 59). Cette série, qui vérifie Téquation différentielle, dépend uniquement des nombres Xq, [Xq et du chemin (S) parcouru pour arriver au point Xn-

Si Ton considère une aire (A), h'mitée par un contour simple, ne contenant ni à son intérieur ni sur sa circonférence aucun des points a^, ai, ..., a^, il existera une fonction /(j;) holomorphe dans toute cette aire, vérifiant Inéquation difi*érentielle et entièrement déterminée si l'on se donne sa valeur et celle de sa dérivée en un point x^ de (A).

Supposons, en efiet, pour simplifier, que le contour qui limite l'aire considérée ne soit rencontré qu'en deux points par toute droite parallèle à une direction convenable, et soit 2 un nombre moindre que la plus courte des plus courtes distances des points «0, «1, ..., oLp au conlour de (A). On pourra décomposer (A) en bandes par des parallèles équidistantes, la distance de deux paral-

lèles étant -; on pourra décomposer ces bandes en carrés, dont les

extrêmes pourront être incomplets. L'un de ces carrés contiendra le point o^o, pour lequel la fonction et sa dérivée doivent être égales respectivement à X0, [Xq; on formera la solution correspondante $0 (^ — -^o)) quî conviendra évidemment dans tout le carré ; /{x) sera définie dans tout le carré comme devant être égale a ^0 (^ — ^o)* Dans un des carrés contigus appartenant à la même bande, se trouve un point j:i, situé aussi dans le cercle de convergence de la série ^o{x — a?o), dont le rayon est supérieur à 8; soient)^! et [ji| les valeurs de ^o{^ — «^o) ®^ ^^ sa dérivée, pour x^^Xi'^ on formera la solution correspondante $1 (x — Xi)ei l'on adoptera, pour valeurs de /(x) dans le second carré, celles de $1 (x — Xi), Ces valeurs continueront celles qui ont été définies

SÉRIES DONT LES TERMES DÉPENDENT d'uNE VARIABLE. 99

dans le premier carré. On passera ensuite au carré suivant de la même bande, etc. ; on parviendra ainsi à définir la fonction dans toute la bande.

On la définira de même dans la bande contiguë en partant d* un point a:Jj, situé dans le cercle de convergence d'une des séries précédentes; tous ces cercles, en effet, empiètent évidemment sur la seconde bande. Les valeurs de la fonction dans la seconde bande continuent celles qui ont été définies dans la première bande, puisque, au point x'ç^^ la fonction définie dans la première bande et celle définie dans la seconde bande sont égales, ainsi que toutes leurs dérivées. On peut donc effacer la ligne qui sépare les deux bandes, puis continuer ainsi de bande en bande d^un côté et de l'autre, jusqu'à remplir l'aire (A) tout entière.

Si Ton a maintenant une autre aire (B) de même nature que (A), ayant un point Ç commun avec (A) et n'empiétant sur (A) qu'en des points qu'on peut relier à $, sans sortir ni de (A) ni de (B), on pourra de la même façon, en partant de ce point, remplir l'aire (B) tout entière, puis effacer la ligne de séparation entre (A) et (B), et ainsi de suite. On voit de cette façon qu'on pourra définir, sans ambiguïté, une fonction satisfaisant à l'équation différentielle, holomorphe dans toute aire limitée par un contour simple ne contenant aucun des points critiques a^, ai, ..., a^, pourvu qu'on se donne en un point x^ de cette aire la valeur de la fonction el de sa dérivée. Si ^r©, Xn sont deux points de cette aire, si on les relie par une courbe dont tous les points appartiennent à l'aire considérée, et que l'on continue la solution ^Po {x — ^o) relative au point Xq le long de cette courbe, comme il a été expliqué précédemment, la solution ^n{^ — ^n)j avec laquelle on parviendra ainsi au point Xn^ sera évidemment indépendante du chemin parcouru (n** 59).

Mais il en serait autrement si les deux chemins partant de Xo et aboutissant en Xn contenaient dans l'aire plane qu'ils limitent un des points critiques ao, ai, ..., a^. Si l'on relie tous ces points par une ligne brisée, dont tous ces points seraient les sommets, s'étendant ensuite indéfiniment à partir du dernier point et telle que chacun de ses éléments ne soit traversé par aucun autre, puis, que l'on pratique une coupure dans le plan le long de cette ligne, on voit, par ce qui précède, qu'il existera une fonction y (j;)

lOO INTRODUCTION.

holomorphe dans tout le plan coupé, satisfaisant a Féquation différentielle, et entièrement déterminée quand on se donne sa valeur et celle de sa dérivée pour un point du plan coupé.

Ces considérations s'étendent sans peine à des équations différentielles linéaires plus générales que celle que nous venons de considérer, et Ton trouve ainsi, sans rencontrer de difCculté nouvelle, que, si les coefficients />, q sont holomorphes dans une aire (A) limitée par un contour simple, il existera encore dans cette aire une fonction holomorphe, vérifiant l'équation différentielle, entièrement déterminée par sa valeur en un point de Taire et celle de sa dérivée.

FONCTIONS TRANSCENDANTES ENTIÈRES. ' ybl