CHAPITRE III

FOiNCTIONS TRANSCENDANTES ENTIÈRES.

!• — Fonctions exponentielles et circulaires.

65. Abandonnant maintenant ces considérations générales, nous allons établir quelques résultats fondamentaux dus pour une bonne partie à Euler et relatifs aux fonctions exponentielles et circulaires (').

On sait que la série

est absolument convergente dans tout le plan : elle définit une fonction transcendante entière. Nous allons montrer que sa somme est la limite vers laquelle tend

quand m augmente indéfiniment par des valeurs entières et positives.

Supposons d^abord x réel et positif. La relation

(iH ) =H u(i ) h(i )(l ) ^ -4- . . .

\ m I I \ m/ 1,1 \ fn/ \ /n/ 1.2.3

( ») Les n- 65, 67, 68 ont été rédigés d'après des Leçons faites à l'École Normale par M. Darboux vers i88o.

l 'dahs le second membre de laquelle les coefficients de x^, x', x^y . . . , x'^ sont tous positifs, montre que, lorsque m augmente,

1 j \ augmente, puisqu^il en est ainsi de chaque terme du

second membre et que d'ailleurs le nombre de ces termes augmente. D'ailleurs ces termes sont toujours inférieurs aux termes

1 H — - 1 reste toujours

inférieur à la somme de cette série ; ( < h ) a donc une limite

quand m augmente indéfiniment, et cette limite est au plus égale à la somme de la série ^{x). D'un autre côté, cette limite est au moins égale à la limite de la somme des p -h i premiers termes du

développement de ( ih ] > c'est-à-dire à

X a?' xP

IH i h ... -h

et cela quel que soit p. On voit donc que la limite de fin- — )

est égale à f(x).

Supposons maintenant x imaginaire. Si l'on ordonne, suivant les puissances de x, la différence

on obtiendra une série dont tous les coefficients sont réels et positifs et dont la somme ne peut donc qu'augmenter quand on remplace X par I ^ î . On a ainsi

mais le second membre de cette inégalité tend vers zéro quand //? augmente indéfiniment. Il en est donc de même du premier.

On représente la fonction ^{x) définie pour toutes les valeurs de X par le symbole e^] e^ on e n'est d'après cela autre chose que la somme de la série

L'application du théorème de la multiplication des séries montre

FONCTIONS TRANSCENDANTES ENTIÈRES. 1o3

immédiatemenl que Ton a

et, de cette égalité étendue à un nombre quelconque de facteurs, on déduit sans peine que, quand x est entier positif, e^ n^est autre chose que le produit de x facteurs égaux à e, en sorte queTemploi de ce symbole n'implique aucune contradiction.