En remplaçant dans Tégalité

i • JÈê • • •

m posant

ei'

iy(x):

-iyjx).

il vient de même

Lorsque x est réel, les séries <{'(^), y^i-^) représentent, comme on sait, les fonctions cosx, sinx, introduites en Trigonométrie. On pourrait même, si ces dernières fonctions n^avaient pas été introduites antérieurement, prendre ces séries comme définitions de cosx et sinx; le nombre tz apparaît alors' comme étant le double de la plus petite racine positive de Téquation ^(x) = o (*). On a alors, par définition, pour toute valeur de x réelle ou imaginaire,

c'*= cosa?-t- isinj?, coso? = ~ («'•^-+- «-'*),

e-''— cosar — is'inxy sina7= — .(e^^ — C"'*),

sinj7 cosj"

isx = 9 cola: = -: — :

cosa? sina?

on en déduira sans peine que les propriétés établies en Trigono-

(•) Voir Vlntroduction à la théorie des fonctions, de M. Jules Tannery, p. Il 4» n* 97.

métrie (formule d'addition, périodicité, etc.) s'étendent facilement aux fonctions sinx, cos^, ainsi définies; nous ne nous y arrêterons pas.

Nous emploierons encore les notations

, I . . e' — e'^ sYix = -. sin IX = 9

cha? — cos ix =

Toutes ces fonctions admettent des dérivées dont la formation est bien connue et se déduit d'ailleurs de la considération des séries précédentes.

Enfin, si l'on pose

ey=x

et si l'on pratique, dans le plau des :r, une coupure allant du point o à l'infini en suivant l'axe des quantités négatives, il existe une infinité de fonctions de x^ holomorphes dans le plan coupé, qui vérifient l'équation précédente quand on les met à la place de^. Pour l'une d'elles, la valeur absolue de la partie imaginaire reste, quel que soit x, inférieure à ir; c'est la détermination principale de logJT. Toutes les autres solutions de Téquation précédente s'obtiennent en ajoutant à celle-là un multiple entier de 2ire ; l'une quelconque d'entre elles vérifie l'équation difTérentielle

dx X

Ces résultats, que l'on obtient d'ailleurs sans aucune difficulté, sont trop connus pour que nous nous arrêtions à les développer à nouveau.