Si l'on pose

m étant un entier positif que, pour la commodité de ce qui va suivre, nous supposerons toujours impair, on a, par l'une des définitions précédentes,

sh(ar) = lim.O(m).

m=:oo

FONCTIONS TRANSCENDANTES ENTIÈRES. Io5

Les racines de Téquation en x

e(m) — o sont données par la formule

îArUi

k étant un entier quelconque. On tire de là

krzi kTzi

X e *" — e '^ . kTz

kTZi k

— = l Ig .

On aura toutes les valeurs de x en donnant à k les valeurs m — 1 m — I m — i ^

"■" ^"^ y ~"~ ~ "T" I • « . « « Oj I y • . . f j

k étant supposé égal à Tun de ces nombres, nous ferons

Xk= niig—-y m

d'où Ton voit, puisque est compris entre ^ et H — > que la

valeur absolue du nombre réel Xf( est supérieure à celle de kiz.

Les racines du polynôme 0(/w) n'étant autres que les nombres Ixm et le coefficient de :r, dans ce polynôme développé, étant égal à un,

on a

6(m) = :r(,-4-^)(,+ |l)...^'.-H- Soit/7 un entier positif fixe et posons

6 (m)= /",-+--— Vi-+--^^ . . . /i-r ^' \-

on aura

e(m; = ei(/n)e,(/n);

nous allons chercher ce que deviennent les deux facteurs du second membre quand m augmente indéfiniment.

kit

k étant fixe et m augmentant indéfiniment, Xk=^mi^ — tend évidemment vers Ar-rc; on a donc

et il est clair que 62 (/w) = ^A — f- admet aussi une limite, pour m

infini, puisque B(m) et 0|(m) en admettent une. Il est aisé de trouver un nombre supérieur à la valeur absolue de cette limite : si Ton ordonne suivant les puissances de x le polynôme

les coefficients de ces puissances sont réels et positifs; la valeur absolue de ce polynôme est donc au plus égale au nombre positif que Ton obtient en y remplaçant x par |;r |; en d'autres termes, on a

la dernière inégalité résultant de ce que l^r^l est plus grand que i A-rw ; .

Mais en raison de la convergence du produit infini

<[ui résulte elle-même de la convergence de la série

il est clair que, si Ton se donne un nombre positif e arbitrairement petit, on peut lui faire correspondre un entier positif /• tel que,

soos U condition/? > r, le dernier membre des inégalités précédentes soit moindre que e. On a donc, sous cette condition,

ie,(/n)-il<e et, par suite, aussi

I lim.02(m) — 1

On peut donc écrire,, en désignant par e' une quantité imaginaire dont la valeur absolue est au plus égale à s,

shâ? = liin.6(in) = liin.6i(m) lim.Os(m) On en conclut que sho; est égal au produit infini convergent

ed d^antrès termes, on a

sha? = a?

chj? pourrait s^obtenir par une aDal}^se semblable; mais il est plus simple de se servir de la formule

shix

char =

2shar'

le numérateur et le dénominateur peuvent être mis sous forme de produits infinis et, en supprimant les facteurs communs, on trouve

char =

"Hh(4^]-

Ces formules, quand on y remplace ^'par iXf deviennent

sm

cosar =

n[-(4yg]-

Ces belles formules, dues à Euler, mettent en évidence les valeurs de X pour lesquelles s\nx et cosa: s'annulent.

M. Hermite a fait observer (*) que, si l'on y regarde les seconds membres comme définissant des fonctions dont on ignorerait les propriétés, elles permetlraient de mettre en évidence, de la façon la plus simple, la périodicité de ces fonctions, et il a profité de cette remarque pour en déduire un moyen de construire a priori des fonctions doublement périodiques.

Observons encore que, en raison de la convergence des séries

les produits infinis qui figurent dans les seconds membres de nos formules satisfont aux conditions imposées dans le n** 41 \ on en conclut la possibilité de développer ces produits infinis en séries entières en j?, convergentes dans tout le plan. En identifiant ces

séries avec celles qui donnent » cosj?, on parvient à une suite

d'identités que nous nous contenterons de signaler; nous retrouverons plus tard, sous une forme plus simple, des identités équivalentes.

En prenant les dérivées logarithmiques (n° 48) de ces produits infinis^ on obtient les développements en séries

I v^ IX

cota7 = — h y >

-(„^iy„.^.

Ces formules, obtenues aussi par Euler, prêtent à des observations analogues à celles dont les produits infinis viennent d'être l'objet.

Elles sont d'ailleurs contenues dans des formules plus générales dues à Cauchy et qui peuvent s'établir par une analyse élémen-

(«) Cours d'Analyse de l'École Polytechnique, p. ^2.

laîre, analogue à celle qui nous a conduits aux expressions de sin j: ou de cosj:, et que nous allons résumer très rapidement.

68. Soit X un nombre réel positif, au plus égal à un, l'expression

cosXj:

OÙ X est un nombre quelconque, est la limite, pour m infini, de l'expression

où nous supposerons encore que m doit croître par valeurs entières, positives, impaires.

En décomposant 'f (/?«) en fractions simples, on trouve

en posant

Xk = m tg — ,

Comme B a -- B/t, on peut écrire

Si Ton fait

kr.

tga* = >^tg--f ,

on peut supposer a^ positif et moindre que -> et Ton trouve

cos —

* ^ ' \cosaA / .An:

cos* — m.

JIO INTRODUCTION.

puis, k étant supposé fixe,

lirii. Bjt = (— i)^cosXX-7:,

Ceci posé, en désignant par/> un entier fixe, soient

on aura

o(/n) =^oi(/iî)-r-<pi(/n).

Pour m infini, o{m) et ^\{ni) ont des limites, on en conclut qu'il en est de même de »2(''î)j et l'on reconnaît aisément que Ton peut supposer p assez grand pour qu'on puisse écrire l'inégalité

A-p-hi

jjL étant un nombre fixe plus petit que i ; il résulte de là que, en désignant par e' un nombre imaginaire qui tend vers zéro quand /> augmente indéfiniment, on peut écrire

lini; Çî(/n ) = e',

d'où l'on conclut

k=ip

cosXj? ,. , V t V ( - 0*cosXX-Tt ,

— = lim. o(m) = - -{. y ---^ — X-+-Z'

(— i)*2cosXAr

X Âi^ x"^ — A* rJ-

k-\ k — tn

,. V' (— O^cosXAtt:

SI n A X

On peut obtenir — . — '- par une analyse semblable ou le déduire

PONCTIONS TRANSCKNDANTES ENTIÈRES. III

de la relation

sinX, sin,

inXj? I r . cosXj: cosX(a7 -f-7r)1

-: = -^— >— COS Air —. i r—, ^ »

iina? sinÀTT L siiiar sin(3r H- ir) J

d'où

sinXa: v^ ^ ,. , îiA-t: sinXArr ,. V^ , ^.sinXXir — ; = > (— i)*-» — TT— — = lim > ( — i)* 7—

De même

^ ^--« (^.k — \)tz co^iik — i) —

et

*=i j-î— (^-lA: -1)2 —