Les expressions si remarquables qui donnent sinx, cosx

sous forme de produits infinis, cotj:, tffx, -. — sous forme de

séries dont les termes sont des fractions rationnelles, peuvent être rattachées à des types très généraux, découverts par M. Weierstrass et par M. Mittag-Leffler, et qui conviennent l'un aux fonctions transcendantes entières comme sinx, l'autre aux fonctions univoques dans tout le plan comme tgjr.

L'objet du théorème de M. Weierstrass est de trouver l'expression la plus générale d'une fonction transcendante entière dont on donne les zéros (').

Nous établirons d'abord le lemme suivant :

Soit n un entier positif; l'expression

peut être mise sous la forme d'une série

(*) C'est-à-dire les valeurs de la variable qui annulent la fonction. Comparez

FONCTIONS TRANSCENDANTES ENTIÈRES. Il5

convergente quel que soit x et dans laquelle tous les coefficients a, Kl, as, ..., a^y ... sont réels et plus petits que i en valeur absolue.

Que l'expression <p(a:) puisse être développée en une série entière en x, toujours convergente, cela résulte immédiatement du n® 49. On a d'ailleurs , en supposant | :r | < i ,

— P n n-Hl /i-f-S "*•

en remplaçant, dans le développement

ey= i-h -^ -h ^^^ — h. ..,

J^ par

on voit de suite que le développement de cp(^) a la forme indiquée plus haut. Il reste à prouver que Ton a

|a/i|<i- Or, si l'on fait

on pourra obtenir les coefficients ^ en remplaçant, dans le développement de ey,y par

et l'on voit déjà ainsi qu'ils sont positifs. Il est clair aussi que si Ton remplace y par la série indéfinie

00 obtiendra un développement analogue, mais avec des coefficients plus grands; or ce développement ne sera autre chose que celui de

ij6

on a donc

D^ailleurs

d'où l'on conclut que les coefficients des diverses puissances de .r sont au plus égaux à Tunité, en valeur absolue. Ce que nous voulions établir.

Il résulte de là que si, dans la série

on remplace x par un nombre positif \ plus petit que i, et les coefficients a, ai, . . . , a^t, ... par leurs valeurs absolues, la somme de la série ainsi obtenue sera moindre que

71. Voici maintenant le théorème qui est notre objet principal(|).

Soit

«Il «jî

, «II

une suite de nombres assujettis à cette condition que [a^l augmente indéfiniment avec n^ et dont en outre aucun ne soit nul. On peut conslruire une fonction transcendante entière de x qui s'annule pour les valeurs de la suite précédente et seulement pour ces valeurs. En outre, si, dans la suite, il y a /? nombres égaux à éZ/}, v\ pas davantage, an sera un zéro d'ordre /> de cette fonction.

On peut, en effet, faire correspondre à chaque indice v un entier positif /Wv tel que la série à termes positifs

soit convergente, quel que soit^. Il suffira, par exemple, de prendre mv=: v: la racine v'^™* du v*^*"* terme de la série précédente aura

( • ) Weibrstrass, Abhandlungen aus der Functionenlehre, p. i6.

alors manifestement zéro pour limite quand v augmentera indéfiniment.

Cette correspondance établie, soit

\av/ av 2 \av/ 3 \«v/ '^v — i \^/

et considérons le produit infini

où les accolades indiquent que la quantité qu'elles comprennent est i//iyac^e{/r du produit infini. Nous allons montrer que ce produit infini est absolument convergent dans tout le plan et qu'il définit une fonction transcendante entière de x.

Soit A un nombre positif quelconque et considérons les valeurs de X pour lesquelles on a

Les nombres | a„ \ augmentant indéfiniment avec n, on peut faire correspondre au nombre A un entier r tel que Ton ait

|av|>A, sous la condition

Soit maintenant

(i-jj/'^''') = i + «v(^);

nous allons d'abord montrer que le produit infini

Vr(x)=JJin-«v(x)j

satisfait, pour toutes les valeurs de x qui vérifient l'inégalité aux conditions imposées dans le n"^ 41, ou plutôt que la série

satisfait aux conditions i® et 2® du n® 38. En effet, on a vu que la série formée par les fonctions Uy{x)^ quand on y remplace les coefficients des puissances de x par leurs valeurs absolues et jr par A, a une somme moindre que

fn%

l«vl

aJ —A'

or la série à termes positifs

Vs: •

^ I A l"** |av|

av I 1^1 — A

est convergente, puisque, par hypothèse, il en est ainsi de la série à termes positifs

et que le rapport de deux termes correspondants dans les deux séries a pour limite Tunité quand v augmente indéfiniment.

La nature du produit infini Wr{x) est ainsi bien mise en évidence; il peut être remplacé par une série entière en ^, convergente pourvu que Ton ait

Pour ces mêmes valeurs, on peut prendre la dérivée logarithmique (n** 48); cette dérivée sera, en indiquant les dérivées ordinaires par des accents.

Vrrco Vi=«e

ay a^ a^ aj'v-* Ov — x

V=co

2d j<'v-Hav— ^)'' v = r

les accolades indiquant toujours que la quantité qu'elles enferment constitue un terme unique de la série où elle figure.

W (x) L'avant-dernière forme trouvée pour ^ rentre dans une

forme très générale signalée par M. Mittag-Leffler et que nous développerons bientôt (n° 75).

La dernière forme met en évidence la convergence absolue, prévue par la théorie générale, de la série qui représente la dérivée logarithmique de ^V(^) - on voit même que cette série, pour les valeurs de x telles que Ton ait

satisfait aux conditions (i®) et (2**) du n° 38; en effet, l'expression

/p/lfy— 1

a^y-^^Oy — x)

est, pour ces valeurs de x^ développable en une série entière en x qui, lorsqu'on y remplace les coefficienls par leurs valeurs absolues et X par A, a pour somme

A et la série à termes positifs

est convergente. Par conséquent, la série qui représente :^^ — :

peut être mise, pour toutes les valeurs de x considérées, sous forme d'une série entière en x absolument convergente. On peut prendre la dérivée de cette série, terme par terme : on formera ainsi successivement des séries absolument convergentes, pourvu que I X I soit inférieure à A.

Rappelons enfin que, pour ces mêmes valeurs de x, les règles de dérivation, soit pour le produit infini, soit pour la dérivée logarithmique, s'appliqueraient aussi bien aux produits infinis déduits

de Wr{x) ou aux séries déduites de celle qui représente

par le groupement des facteurs ou des termes (n**' 38 et 41).

Ces conclusions s'appliquent au produit