V = CB

qui ne diffère de Wr{^) que par l'adjonction d'un nombre fini de facteurs dont nous représenterons le produit par

en sorte que l'on a

el à la dérivée logarithmique de G(a:), savoir :

G'(^) *;(ir) ^;(x)

G{X) *;.(X) Wrix)

On voit d'abord que le produit infini G{x) sera uniformément et absolument convergent pour toutes les valeurs de x qui satisfont ù la condition

Puisque ^r{x) est une fonction transcendante entière de x, G{x) sera développable en une série entière en x, pour toutes les valeurs de x qui vérifient la condition précédente, c'est-à-dire pour toutes les valeurs possibles de x, puisque A est arbitraire.

On aura aussi

G(x) "" *r(a7) "^ ^'r(x) "" ^ a(,"y-^ {X — Oy)

pour toutes les valeurs de x qui satisfont à Tinégalité, el, par suite encore pour toutes les valeurs de :r, sauf les valeurs

La série qui figure dans le dernier membre de l'égalité précédente est absolument convergente pour toutes les valeurs de x autres que celles que Ton vient d'exclure. La fonction qu'elle représente admet des dérivées de tous les ordres que l'on obtient en prenant les dérivées, terme par terme, de la série. Toutes les se-

ries que Ton obtient ainsi sont absolument convergentes pour les valeurs de x non exclues.

Relativement à l'uniformité de la convergence de la série

qui représente ^ .y observons que la série qui représente

^) est uniformément convergente dans le cercle de rayon A

décrit du point o comme centre. En plaçant au commencement de cette série les termes qui représentent

la seule chose qui puisse troubler l'uniformité de la convergence consiste en ce que, dans cette région, certains des termes ajoutés deviennent discontinus aux points ai, a^^ . . ., Or* Si donc on entoure ces points de cercles d'un rayon fixe, arbitrairement petit 8, si l'on supprime du plan les parties intérieures à ces cercles et si Ton décrit du point o comme centre, avec un rayon A, un cercle, la série qui représente

G(ar)

sera uniformément convergente dans la portion du plan perforé intérieure à ce cercle. Il en serait de même des séries qui représentent les dérivées successives de cette fonction.

Les mêmes considérations montrent que toutes les fonctions représentées par ces diverses séries peuvent être développées en séries entières en ^ — .r^, convergentes dans tout cercle de centre x^ et auquel sont extérieurs les trous que l'on a pratiqués dans le plan des X autour des points

Enfin, si Ton transforme le produit infini

OU la série

en un autre produit infini ou en une autre série, en groupant ensemble les facteurs ou les termes, on pourra appliquer les mêmes règles de dérivation au produit infini transformé ou à la série transformée. Quand on ne tient pas compte des r — i premiers facteurs du produit ou des r — i premiers termes de la série, la chose ressort, comme nous l'avons fait observer plus haut, des n*** 38 et 41, lorsque x est intérieur au cercle de rayon A. Mais la présence de ces /• — i facteurs ou de ces r — i termes, en nombre Jini, ne peut évidemment altérer en rien les conclusions; et, comme A est arbitraire, ces conclusions s'étendent à tout le plan.

Puisque le produit infini G{x) est absolument convergent pour toutes les valeurs de x, il ne peut s'annuler que si l'un des facteurs qui le composent est nul, c'est-à-dire si x est égal à l'un des nombres de la suite

S'il y a, dans cette suite, p termes égaux à ««, on voit que l'on peut faire sortir du produit infini p facteurs égaux à

et que le produit infini restant ne s'annulera plus pour x = a„^ en sorte que la proposition énoncée au début de ce numéro est entièrement démontrée.

72. Il est aisé maintenant d'obtenir l'expression générale de toutes les fonctions transcendantes entières qui satisfont aux conditions imposées dans l'énoncé de cette proposition.

Si ^(x) est une telle fonction, la fonction /(j:) qui est égale à

pour toutes les valeurs de x différentes de a<, «2? • • •> ^v> • • •* ^t qui, pour x = a^,, est égale à

lim. TT7 — :i .r = rtv G(^)

est régulière (n°53) pour chaque valeur de x.

Cela résulte, si x n^est pas un des nombres ay, de la règle pour la division de deux séries (n® SO) ; et si ^ = ûTvj cela résulte encore de la même règle, en remarquant que Ton peut écrire, lorsque a^ est un zéro d'ordre y? (n® 44),

G(x) = {x — a^,)P^i(x — ûv),

en désignant ici par 9{x — a^,), ^< (x — «y)? des séries entières en X — fly, convergentes quel que soit x.

Par hypothèse la fonction f{x), régulière quel que soit x, est aussi différente de zéro quel que soit x ; les fonctions

où y'(^) désigne la dérivée de /{x)j sont donc également, en vertu du même théorème sur la division des séries, régulières quel

que soit x, La fonction yr— r en particulier est, d'après le théorème de Cauchy sur le développement en séries des fonctions d'une variable imaginaire (*), développable en une série entière en x, convergente quel que soit x. Désignons cette série par ^(x), en représentant par g{x) une série entière en x, convergente quel que soit ;r, dont la dérivée soit g^{x). L'équation

où l'on regarde y(^) comme la fonction inconnue, est une équation différentielle linéaire qui, d'après sa forme même (n®63), n'admet pas d'autres solutions que des fonctions transcendantes entières; l'une quelconque de ces solutions est entièrement déterminée quand on se donne la valeur de la fonction f{x) au point j^. Or, comme, d'une part, la fonction

où c est une constante arbitraire, vérifie cette équation, et que, d'autre part, on peut toujours déterminer la constante de manière

(*) On pourrait déduire le même résultat du théorème signalé en note au n» 55.

que, en x^^ celle fonclion prenne une valeur arbitraire différente de zéro, il est clair qu^elle est la solution générale de l'équation différentielle linéaire. Rien n^empéche d'ailleurs de faire rentrer c dans g{x)^ en sorte que toutes les fonctions cherchées sont nécessairement de la forme

Réciproquement, une expression de cette forme, où g{x) est une série entière en x, convergente quel que soit x^ d'ailleurs arbitraire, satisfait évidemment aux conditions imposées dans Ténoncé du théorème.

Si Ton voulait avoir l'expression générale d'une fonction transcendante entière, admettant, outre les zéros de la suite

la racine zéro et cela m fois, il suffirait évidemment de multiplier l'expression

ee^'^ G(j:) par x'^.

Les facteurs

où les polynômes $v sont choisis de façon que la série

soit convergente quel que soit x^ sont Ails facteurs primaires de la fonclion transcendante entière considérée.

Il arrive, dans de nombreuses applications, que la convergence de la série précédente a lieu en attribuant à mi, m2, . - ., rriy,^ . . . la même valeur fixe. S'il en est ainsi, soit m le plus petit des nombres entiers positifs pour lesquels la série

soit convergente; la fonction

OÙ les nombres mv sont tous choisis égaux à m, est dite de genn* m — 1 . Cette notion de genre est due à Laguerre.

73. Nous nous trouverons précisément dans ce cas si nous cherchons à construire une fonction qui s^annule, une fois seulement, pour tous les nombres entiers positifs ou négatifs.

En excluant le nombre zéro, nous pourrons prendre alors

a, = 1, a, = — I, aj=?., ^v = — 2, «5=3, ..., et, à cause de la convergence de la série

n rr 00

prendre pour facteurs primaires les quantités

Le produit infini

lî I (

où n doit parcourir toutes les valeurs entières, positives et négatives, à Texclusion de la valeur zéro (*), s'annulera toutes les fois que X est égal à un nombre entier non nul. Ce produit est absolument et uniformément convergent dans toute portion finie du plan des x. Il représente bien une fonction transcendante entière, de genre un, répondant à la question.

Comme ce produit infini est absolument convergent, on peut réunir ensemble les facteurs qui répondent à des valeurs de n

(') Ce qui est indiqué par l'accent ^'^ dont est affecté le signe H

1 a6 INTRODUCTION.

égales et de signes contraires ; on obtient ainsi le produit infini

n = ce

dont la valeur est, comme nous Pavons vu au n® 67, égale à

sin Tzx

Tcar '

la formule

(II) sinTca? = TîT I I wi je"

exprime donc la décomposition de simzx en ses facteurs primaires.

On aura de même

costtj: = I I W I \e '^,

où /; prend toutes les valeurs entières, positives, nulles ou négatives.

De même encore, la fonction transcendante entière, de genre un.

/i = ce

?(-)--ni('-^i)'' !■

s'annule pour ^ = o et pour les valeurs négatives entières de x. Cette fonction est liée à la fonction bien connue F (x) par la relation ( * )

en désignant par C la constante d'Euler, c'est-à-dire la limite,

pour n infini, de