II I

on le reconnaît aisément en partant de la définition habituelle

(*) Weierstrass, loc. cit.j p. i5 et a38.

de r(:c), savoir

r(^)= lira. i.2.3.../i./i'-i

nz=» iP(2: -i- i). . .(x -^- n — I)

La formule que nous venons d'écrire, et qui exprime donc la décomposition de — r en ses facteurs primaires, est éminemment propre à établir les propriétés élémentaires soit de la fonction <f{x) qu'elle définit, soit de la fonction F (x).

74. Si Ton fait le quotient de deux fonctions entières, transcendantes ou non, il est clair qu'on obtient une fonction qui n'admet, à distance finie, d'autres singularités que des pôles ; ces pôles sont les zéros de la fonction que l'on fait figurer au dénominateur, en supposant que les deux fonctions n'arent pas de zéros communs.

Réciproquement, il importe de remarquer que toute fonction univoque qui n'admet pas d'autres singularités à distance finie que des pôles est le quotient de deux fonctions entières, transcendantes ou non.

D'abord ces pôles sont isolés les uns des autres; car si, dans un espace limité, il y en avait une infinité, il existerait dans cet espace un point limite, tel que, en décrivant autour de ce point un cercle de rayon arbitrairement petit, ce cercle contînt toujours une infinité de pôles; ce point ne pourrait être ni un point ordinaire, ni un pôle, ce serait un point singulier essentiel. Soient, dès lors,

les pôles de la fonction considérée, rangés de telle façon que, s'ils sont en nombre infini, |a/, | augmente indéfiniment avec n; soit oLn le degré de multiplicité du pôle a,i. On peut, par le procédé de M. Weierstrass, construire une fonction entière, qui admette pour zéros les points a,, «2» • • • j <5f/o • • •> ûvec les degrés de multiplicité ai, a2, ..., oLnj ... : si les pôles étaient en nombre fini, cette fonction se réduirait à un polynôme; soit, dans tous les cas, W{x) cette fonction, et soit /(:r) la fonction proposée; il est clair que la fonction univoque

f(x)yp{x)

est régulière en tout point situé à distance finie; c'est donc une fonction entière, transcendante ou non ; si on la désigne par ^(x), on aura

c'est ce qu'il fallait démontrer.

7S. Le théorème de M. Mittag-Leffler (*) fournit l'expression d'une fonction univoque dans tout le plan et présentant aux points

des discontinuités polaires ou essentielles prescrites à l'avance.

Avant d'en donner l'énoncé, nous ferons les remarques suivantes :

I" Soit

ff {x) = KiX -^^ \iX' -\- . . . -r- \nX"-{-, . .

une série convergente quel que soit j:, et dans laquelle le terme constant est nul. et soit a un nombre positif plus petit que la valeur absolue d'un nombre donné a réel ou imaginaire. La fonction

ér

est alors développable en une série entière en x, absolument convergente tant que l'on a

En effet, le terme

est dcvcioppablc en une série entière en x, et, si l'on remplace, dans cette série, les coefficients par leurs valeurs absolues et x par a, on obtiendra une série convergente dont la somme est

(') Sur la représentation analytique des fonctions monogènes uniformes d'une variable indépendante {Acla mathematica, t. IV, p. i).

eafin la série

/l =: ce

est convergente.

a" Si, maintenant, on considère le reste de la série entière qui

représente g ( ) bornée au terme en x", et si Ton remplace

dans ce reste, qui est lui-même une série entière en x, tous les coenicients par leurs valeurs absolues et x par a, on obtiendra un nombre positif dont la valeur dépend de /i, et, en choisissant convenablement /}, on pourra manifestement faire que ce nombre soit inférieur à tel nombre positif e que l'on voudra, fixé à l'avance. A fortiori, le même reste, quand on y remplace les coefficients par leurs valeurs absolues et x par un nombre moindre que a sera-t-il moindre que e.

76. Voici maintenant le théorème de M. Mittag-Leffler : Soient

une suite indéfinie de nombres, tous différents, et tels que |aj grandisse indéfiniment avec v.

Soient

une suite de fonctions entières (transcendantes entières ou polynômes) qui s'annulent toutes pour ^ = o.

On pourra construire une fonction F(x), univoque dans tout le plan, régulière aux environs de toute valeur de x qui n'appartient pas à la suite ^i, «2, . . . , av, . . . , et telle que la différence

soit régulière aux environs du point r/y.

Supposons d'abord que «i soit différent de zéro et, par suite, qu'aucun des nombres a ne soit nul; faisons correspondre à ces nombres, d'une part, les nombres positifs

^ll ^îî ... 1 ^Vî • • • 1

T. et M. — ï. (j

l3o INTRODUCTION.

assujettis à cette seule condition que la série

soit convergente; de Tautre, les nombres aussi positifs définis par Tégalité

où Tj est un nombre positif arbitraire, moindre que un.

Ceci posé, développons ^v ( ) en une série entière en x^

convergente pour les valeurs de x qui vérifient l'inégalité

faisons correspondre au nombre positif Sv un entier positif m^ tel que, si l'on considère le reste de la série arrêtée au terme en ^'"v-^j puis, que l'on remplace, dans ce reste, tous les coefficients par leurs valeurs absolues et x par ay, le nombre positif ainsi obtenu soit au plus égal à Sy. Désignons, d'ailleurs, par fy(a7) la somme des /Wy premiers termes de la série entière en x qui représente gy ( — 3 — )' en sorte que

sera une fonction définie pour toutes les valeurs de x autres que «y, et qui, pour les valeurs de x satisfaisant à l'inégalité précédente, sera développable en une série entière en x^ laquelle ne sera autre chose que le reste antérieurement défini.

Nous allons maintenant montrer que la somme de la série

dont on établira la convergence pour toutes les valeurs de x, autres que «1, a^f . . . , ^y, . . ., satisfait à toutes les conditions imposées, dans l'énoncé, à la fonction F(x).

Soit, en effet, A un nombre positif fixe quelconque. Comme les nombres positifs a,, ao, . . . , ay, . . . vont en grandissant indéfiniment, on peut faire correspondre au nombre A un entier /• tel <|ue, sous la condition

FONCTIONS TRANSCENDANTES ENTIÈRES. l3f

on ait

av> A.

Dès lors, pour les valeurs de x qui vérifient l'inégalité la série

vérifie les conditions (i) et (2) du n° 38 : chacun de ses termes est développable en une série entière en x\ si, dans Ja série qui représente/r(^)j on remplace tous les coefficients par leurs valeurs absolues et X par A, on aura une somme moindre que tr\ de même pour/^^i(j:),/r+2(^)? • • • ; enfin la série

est convergente.

La série

est donc, pour toutes les valeurs considérées de x, absolument et uniformément convergente. De même les séries suivantes, où les accents indiquent des dérivées,

sont absolument convergentes, si | x | est inférieure à A, et peuvent alors être remplacées par des séries entières en x.

En supposant que x ne soit aucun des points a\ , a2, . . . , ^r-o désignons par ^r(^) Isi somme

La série

F{X) =fi{x) -\-Mx) -h . . . H-/r(ar) -r-. . .

sera absolument convergente pour tous les points x non exclus qui vérifient l'inégalité

et Ton aura, pour ces points x,

D'ailleurs, la fonction ^r{^) est régulière pour tous les points

l32 INTRODUCTION.

non exclus qui se trouvent à rinlcrieur du cercle de rajon A; il en est donc de même de la fonction F(x).

Enfin, aux environs d'un point an de la suite a^ «2» • • m ^r-ii la fonction

est régulière, puisqu'il en est ainsi de la fonction

donc la fonction

est aussi régulière aux environs de a„.

Pour tous les points intérieurs au cercle de rayon A, la fonction F(:r) satisfait donc aux diverses conditions de l'énoncé; elle y satisfait partout, puisque A est arbitraire.

La série qui représente F(j?) est absolument convergente partout, sauf aux points singuliers ^i, ^2, . . . , ^v, .... Elle est uniformément convergente dans toute aire limitée par un contour simple et ne contenant aucun des points a^, «2, . . ., «v? ... ; on peut en prendre la dérivée terme par terme, etc.

Nous avons supposé qu'aucun des points singuliers a<, a^^ . • . , Ont • • • n'était nul. Si, outre ces points, la fonction cherchée devait admettre le point o comme point singulier (pôle ou point singulier essentiel) et être telle qu'elle devînt régulière autour de ce

point après qu'on en a retranché la fonction g l-p en désignant

toujours par g{x) une fonction entière (transcendante entière ou polynôme) d'ailleurs arbitrairement donnée, il suffirait évidemment d'ajouter à la fonction F(;r), construite comme nous l'avons

expliqué, la fonction g {-)•

Quand on a construit une fonction satisfaisant à toutes les conditions de l'énoncé, on formera la fonction la plus générale qui satisfasse à ces conditions en lui ajoutant une fonction entière arbitraire.

(l" PARTIE.)