PÉRIODIQUES

77. Désignons par a une constante réelle ou imaginaire; on dit que la fonction univoque/(M) est périodique et qu'elle admet la période a si l'on a, quel que soit w,

en changeant dans cette égalité u eu u — a, on trouve

en sorte que, si a est une période, — a est aussi une période; on voit aussi , en changeant e^ en u-^- a, u -\- ^a^ . . . , u — a, u — 2a, . . . , que Ton doit avoir, quel que soit l'entier positif ou

négatif m,

/(!£ -H ma) =/(!£),

en sorte que, si a est une période, ma est aussi une période.

Les éléments de l'Analyse fournissent des exemples de fonctions périodiques : sini/, c^ admettent respectivement les périodes 27r, o^Itz^ la série

T. et M. - I. 9*

tiir/f

l34 CALGOL DIFFÉRENTIEL.

supposée convergente, représente une fonction admettant la période a.

78. Si une fonction univoque/(M) admet la période a, et si elle s'annule pour u^=^Uq^ il est clair qu'elle s'annulera pour u= Uq-\- a-^ mais il y a plus : si Uq est un zéro d'ordre n de la fonction /(w), il en sera de même de Uo-}-a. En effet, dire que u^ est un zéro d'ordre n de la fonction /(a), c'est dire que, aux environs de Wq? cette fonction peut se mettre sous la forme

^î{u — Uq) étant une série entière en w — Uq, qui ne s'annule pas pour u=z Uo^ei cette égalité doit subsister pour toutes les valeurs de u qui satisfont à une condition de la forme

I M — ao|<6,

où e désigne un nombre positif au plus égal au rayon de convergence de la série ^{u — Uq); or si, dans l'égalité précédente, on change u en u — a, il vient

/(u - a) =/(m) = [u — (ao^- a)]« $[m — (tto-^ a)],

et l'égalité des deux derniers membres devant avoir lieu pour toutes les valeurs de u, qui satisfont à l'inégalité

\u — {Uo~a)\< s,

obtenue en changeant aussi u en u — a dans la condition précédente, la proposition est démontrée.

Au reste, le même mode de démonstration prouve que si la fonction périodique /(w), aux environs du point Wq, peut être mise sous une certaine forme analytique

dans laquelle u — Uq joue le rôle de variable, elle pourra, aux environs du point iiQ-h a, être mise sous la forme

Ainsi, si la fonction /(w) admet un pôle en u,, d'ordre /?, et peut

CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES SUR LES FONCTIONS PÉRIODIQUES. l35

se mettre aux environs de ce pôle, sous la forme

où A, Af, .. ., A«| sont des constantes et 9 (u — W|) une série entière en u — W|, cette fonction admettra le point Ui -\- a pour pôle d'ordre n et, aux environs de ce point, pourra se mettre sous la forme

/iu) = - --^-. ^' ,„ .^...^ ^^-^ H-$(a~«i-a),

•^ ^ (i£ — Mi— a)" (m — Ui — a)»-* u — Ui—a

les constantes A, A|, . . ., A,i i ayant les mêmes valeurs que pour le pôle f/|.

Puisque, si a est une période, il en est de même de ma, en désignant par m un entier quelconque, il est clair que tous les nombres iiQ-h ma seront des zéros de même ordre; de même tous les nombres u^ + ma seront des pôles de même ordre. C'est ainsi que les zéros de sin^ sont tous simples et forment deux progressions arithmétiques dont la raison commune est 27r, que les zéros et les pôles de cotx sont tous simples et forment des progressions arithmétiques dont la raison est tz,

79. Au surplus, lors même qu'on ne connaîtrait pas les fonctions trigonomé triques, la remarque si simple qui précède, relative aux fonctions périodiques en général, amènerait à les considérer par une voie très naturelle.

On est en effet amené, par ce qui précède, à se poser le problème suivant : Construire une fonction dont les zéros forment une progression arithmétique indéfinie. Si Ton veut, par exemple, construire une fonction transcendante entière, admettant comme zéros simples les nombres

O, ±1, ±2, . . ., zh 71,

et n'en admettant pas d'autres, le théorème de M. Weierstrass (n"71) permettra d'en obtenir une infinité dont la plus simple sera

ia) o ( u } — u

l36 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

OÙ le nombre n doit prendre toutes les valeurs entières positiveou négatives, à l'exclusion de la valeur zéro.

Nous rappelons les conventions suivantes qui seront constam ment adoptées dans la suite : \q facteur primaire

est mis entre accolades, de manière à indiquer que la quantité qu'enferment ces accolades constitue un facteur du produit infini, au sens du n® 71 ; l'accent ^'^ dont est affecté le signe I 1

veut dire qu'on obtient les différents facteurs du produit infini en donnant à n toutes les valeurs entières positives ou négatives à V exclusion de la valeur zéro : nous rappelons aussi, une fois pour toutes, les propositions suivantes, qui ont été établies dans le n° 71.

Les produits infinis, formés en appliquant le théorème de M. Weierstrass, sont absolument convergents; ils définissent des fonctions (transcendantes) entières; leurs facteurs peuvent être groupés comme l'on veut, et les divers groupements conduisent toujours à des produits absolument convergents, de même valeur; on peut en prendre la dérivée logarithmique, comme s'il s'agissait de produits d'un nombre limité de facteurs, soit avant d'avoir groupé les facteurs, soit après; les séries ainsi formées sont absolument convergentes, sauf pour les valeurs de la variable qui annulent les facteurs primaires du produit infini; elles sont uniformément convergentes dans toute région limitée du plan qui ne contient aucun des points dont les affixes sont les valeurs qu'on vient de dire, et dont le contour est à distance finie de ces différents points; on peut en prendre les dérivées terme par terme et l'on obtient ainsi toujours des séries absolument et uniformément convergentes dans les mêmes conditions que la première.

En particulier, dans le cas qui nous occupe, on aura, en désinant par '/(«/) la dérivée de 'f{u), la relation

,6) i|ii=i^y

'^(u) I V^" il I )

CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES SUR LES FONCTIONS PÉRIODIQUES. iZl

puis, en prenant les dérivées une fois de plus,

du q(u) ^

du <p ( M ) ^d {U — /l )2 *

dans la première de ces relations, les accolades indiquent que la c|ijantité qu'elles enferment constitue un terme de la série, et n iloit prendre toutes les valeurs entières positives et négatives, à l'exclusion de la valeur zéro, ce qui est indiqué par l'accent qui

affecte le signe ^; dans la seconde, n doit prendre toutes les valeurs entières positives, nulles et négatives. Nous avons déjà dit (n°*67, 73) que ces expressions pouvaient conduire directement aux

propriétés relatives à la périodicité des fonctions 'f (w), -—. — -:

mais nous allons établir à nouveau ces propriétés, afin d'indiquer UD mode de raisonnement et quelques transformations de formules qui nous seront utiles plus tard.

Remarquons d'abord que l'expression même de <p(«) montre

que l'on a

cp(— w)=— 9(1/),

puisque, sous le signe I I , le changement de u en — u revient au changement de n en — n qui n'altère pas le produit infini; ^(m) étant une fonction impaire, il en est de même de -~ — r« Il est aisé de reconnaître que Cette dernière fonction s'annule pour /£ = -; on a, en effet.

'2-hlim. \ ( 1 1 H-lim. \

n — ll /l \ n =- Il ^

le second membre est la limite pour/? infini de

ip — I

limite qui est évidemment nulle.

l38 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Si, maintenant, dans l'expression de <p(w), on change u en u -f- a. a désignant un nombre quelconque non entier, on trouve

or, le facteur primaire

peut être regardé comme le produit des trois quantités

donc, en raison de la convergence manifeste des trois produits infinis dont on obtient les facteurs en remplaçant, dans chacune de ces quantités, n par tous les entiers positifs ou négatifs, à l'exclusion de zéro, on voit que le produit infini

peut s'obtenir en multipliant les valeurs des trois produits infini:

on aura donc

u -i- a a JL X ( \ n— a/ )

ou, en faisant rentrer sous le signe |T le facteur

CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES SUR LES FONCTIONS PÉRIODIQUES. iSg

qui n'est autre que le facteur général écrit sous ce signe, et dans lequel on supposerait /? = o, on trouve finalement

Tri/ '' \ -^î 9(u^a) -u'^JHl

JL1(\ n — a] \ «p(a)

dans le premier membre, n doit maintenant prendre toutes les \aleurs entières positives, nulles et négatives.

En prenant les dérivées logarithmiques des deux membres par rapport à u^ on obtient la relation

(e) y L__L . H i j = ?Hwjt^)__?l(a),

que l'on déduit d'ailleurs directement de l'expression de -=-- — :; ^ ^ (p(a)

les premiers membres des deux dernières égalités, regardés comme des fonctions de a, sont évidemment des fonctions périodiques, admettant le nombre i pour période ; en effet, le changement de a en a -h I , dans ces premiers membres, revient au changement de n en n — I qui ne fait que reculer d'un rang les facteurs ou les termes du produit ou de la série et n'altère pas la valeur de ce produit ou de cette série; on a donc

<p(tt-f-a-hi) <p(a -hi) ~" o (m H-a) ?(«)

ou

o'(a -t-a-f- 1) <p'(aH- a) <p'(a H- i) ?'(«)

égalité qui montre que le second membre est indépendant de a; on

voit de suite que sa valeur est nulle en y supposant a = ; on

a, en effet, par les remarques précédentes,

ainsi la fonction ^ est périodique et admet l'unité pour période.

l4o CALCUL DIFFÉRENTIEL.

On trouve de la même façon, en remarquant encore que le produit infini

considéré comme une fonction de a, admet Tunité comme pé — riode,

ip^a-hi) cp(a)

ou, en tengint compte de la périodicité de la fonction ^ y

cp(a-f-a-+-i) o(a-+-i)

égalité qui montre que le second membre est indépendant de a.

En y supposant a = > on trouve que sa valeur est — i ; on en

conclut sans peine que la fonction <p(w) est périodique et admet le nombre deux comme période. Les fonctions ['f (w)]^, ^{'^u) admettraient l'unité comme période.

D'ailleurs, la fonction ^{u) n'admet pas d'autres périodes que le nombre deux et ses multiples entiers, et c'est ce qui résulte encore de la remarque qui a conduit à la former. En effet, ç(w) ne peut admettre comme période un nombre impair an -H i ; on a, en effet, puisque a et 2/i sont des périodes,

«p(a-+-2/i-f-i) = cp(a-hi)= — ?(w);

mais un nombre qui ne serait pas entier ne peut être une période : en effet, puisque la fonction 'f (w) s'annule pour ii =. o, elle doit s'annuler pour toute période; or elle ne s'annule que pour des valeurs entières de w.

On voit comment la forme considérée de la fonction y(w) met en évidence les propriétés les plus importantes de cette fonction relatives à la périodicité. D'autres propriétés apparaissent moins facilement sur cette forme et se rattachent à d'autres formes analytiques qu'elle peut revêtir; mais nous ne voulons pas étudier da-

vantage cette fonction, qui n'est autre chose que — - — (n® 73),

et nous nous bornerons à récrire, avec les notations de la Trigo-

CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES SUR LES FONCTIONS PÉRIODIQUES. l^l

nométrie, les formules (a), (6), (c), (rf), (e). On obtient ainsi (II) sin7ca = TcaJJ K^jen(

(Ij) 7rcot7ca= h > { 1

^''^ sin»7ca 2â(u — n)^^

(I4) I I ( I le»-" J = P ie-«ircoi7ca

(I3) J \ 1 > = 7crcot7c(a-i- a) — cotiual.

80. Nous avons dit que, si une fonction /(w) admettait une période égale à a, tous les multiples entiers de a étaient aussi des périodes de cette fonction; il n'y a pas lieu de regarder ces diverses périodes comme véritablement distinctes. Si la fonction /(f/) n^admet pas d'autres périodes que celles-là, elle est dite simplement périodique, et Ton dit que a en est la période primitive : ainsi 2 est une période primitive de la fonclion ^{u) du numéro précédent, 27: est une période primitive de sinw.

On peut se demander s'il peut exister des fonctions univoques/(w) admettant deux périodes distinctes a et b, c'est-à-dire des fonctions telles que l'on ait, quel que soit w,

et, par conséquent aussi, quels que soient les nombres entiers /?i, fiy positifs, nuls ou négatifs,

•/(u-h ma-{- nb) =/(u).

En disant que les périodes a et b sont distinctes, nous entendons simplement ici qu'il n'existe pas un troisième nombre a dont a et b soient des multiples entiers et qui soit lui-même une période de la fonction /(a). Si un tel nombre existait, on ne dirait rien de plus en disant que a, b sont des périodes, qu'en disant que a est une période. On peut se demander aussi s'il peut exister des fonctions univoques admettant trois périodes distinctes a, 6, c,

l4a CALCUL DIFFÉRENTIEL.

c'est-à-dire des fonctions f{u) telles que l'on ait, quel que soit u et quels que soient les entiers m, /i, /?,

/{u -i- ma -h nb -hpc) =f{u).

En disant que les périodes a, 6, c sont distinctes, on entend qu'elles ne peuvent pas s'exprimer toutes trois en fonction linéaire à coefficients entiers de deux périodes de f{u). S'il en était ainsi, on n'aurait rien de plus que dans le cas des fonctions à deux périodes, etc.

81. Avant d'essayer de répondre à ces questions, nous établirons le lemme suivant :

Si une fonction univoque/(w) est régulière en un point u^ (n°53) et ne se réduit pas à une constante, il existe un nombre positif e tel que la valeur absolue de toute période de cette fonction soit certainement supérieure à e.

En effet, dire que la fonction f{u) est régulière en Wo> c'est dire qu'il existe un nombre positif » tel que, pour toutes les valeurs de h qui vérifient l'inégalité

l'on ait, en désignant par n l'ordre de la première des dérivées de f{u) qui ne s'annule pas pour w = Wo>

Or, s'il en est ainsi, on a vu (n** 36) qu'il existe un nombre positifs tel que la série qui figure entre crochets dans le second membre de cette égalité ne s'annule pour aucune valeur de h moindre que £ en valeur absolue. Si donc on veut que l'on ait

/(uo-ha) =/(mo), il faut que | a | soit supérieure à s.

82. Il résulte de là que si la fonction univoque /{u), régulière en Wo, est périodique, les diiférents points qui figurent les diverses périodes que cette fonction peut admettre sont tous à une distance du point o supérieure à s. Si cette même fonction admet