CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES SUR LES FONCTIONS PÉRIODIQUES

M «s deux périodes a, 6, elle admettra comme périodes tous les K^ombres ma -\- nb, en désignant par m cl n des entiers. En partid^ulier, la différence de deux périodes quelconques sera une pé- Mi^iode; par suite, si Ton figure les diverses périodes par des -points, la distance de deux quelconques de ces points sera supé- :B:^ieure à £, puisque cette distance est la valeur absolue de la diffém^ence entre les affixes de ces points, différence qui est elle-même ^ine période.

On en conclut que, dans une portion limitée du plan, il ne

peut y avoir qu'un nombre fini de points figurant des périodes ;

en effet, on pourrait paver le plan avec de petits carrés dont la

diagonale serait inférieure à e ; or, dans chacun de ces carrés, il

ne peut y avoir qu'un seul des points considérés.

83. Nous allons maintenant établir les deux propositions suivantes :

I. Si une fonction univoquey(a), régulière en un point Wo, et qui ne se réduit pas à une constante, admet deux périodes a, b dont le rapport soit réel, il existe une période a de la fonction f{u) dont toute autre période est un multiple entier : en d'autres termes, cette fonction est simplement périodique et a en est une période primitive.

II. Si une fonction univoquey(w), régulière en un pomt Uq, et qui ne se réduit pas à une constante, admet deux périodes a, b dont le rapport soit imaginaire, il existe un couple de périodes a, P de la fonction y( a), tel que toute période de cette fonction soit une fonction linéaire homogène à coefficients entiers de a, p.

1° Si a, 6 sont des périodes dont le rapport est réel, tous les points ma -h nb sont situés sur la droite qui passe par les points o, âr, b ; leurs distances mutuelles sont plus grandes que e; il y a donc un de ces points qui est plus rapproché que les autres de l'origine, puisque sur un segment fini de cette droite avant son origine en o, il ne peut y avoir qu'un nombre fini de points figurant des périodes. Soit a Taffixe du point le plus rapproché; tous les nombres /? a, où/? désigne un entier, sont des périodes; ils sont figurés par des points équidistants sur la droite considérée ; or, aucune période ^ ne peut être figurée par un point situé entre

l44 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

deux polnls consécutifs /?a, (/? -f- i)a, sans quoi la distance des points P ci poL serait moindre que |a|, et, puisque la différence entre les périodes poL et P est une période, il y aurait un point figurant une période plus rapproché de zéro que le point a; ainsi, toutes les périodes sont des multiples de a, en particulier a et 6, qui ne sont pas des périodes distinctes. La fonction est simplement périodique et a est une période primitive (*).

2° Si donc la fonction /(a), régulière en un point, admet deux périodes distinctes a, b, le rapport de ces deux périodes, et, par conséquent, Tune d'elles au moins, est imaginaire.

Avant d'aller plus loin, il convient de se rendre compte de la façon dont sont distribués tous les points ma -h nb, m et n étant entiers.

Tous les points ma sont des points équidistants sur la droite qui passe par les points o, a; de même les points nb^ sur la droite

(^) On arrive à la même concIusioD par les considérations arithmétiques que voici :

Supposons d'abord que le rapport - soit un nombre rationnel -> ç et p étant

des entiers premiers entre eux ; il existera alors un nombre a tel que l'on ait

a rr-. poLy b = gxy

et il suffît de prouver que a est une période pour démontrer que a cl b ne sont

pas des périodes distinctes ; or xî'cst ce qui résulte de ce qu'il existe des entiers

p', q' tels que l'on ait

x^pp'-r-qq',

et, par suite,

Supposons maintenant que le rapport des deux périodes - soit un nombre irrationnel réel p; la théorie des fractions continues montre qu'il existe des fractions

à termes entiers -> à dénominateur aussi grand qu'on le veut et, telles que l'on

ait

la valeur absolue de pa — qb ou a{p — qp) étant moindre que

peut être supposée aussi petite que l'on veut; mais, pa — qb étant une période, on voit que cela est impossible si la fonction /(m) est régulière en quelque point.

CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES SUR LES FONCTIONS PÉRIODIQUES. t45

cjiii passe par les points o, b : les deux droites sont d'ailleurs dis-

tînctes, puisque le rapport - est imaginaire ; si, par les différents

points de division de la première, on mène des parallèles à la seconde, et, par les différents points de division de la seconde, des parallèles à la première, on décomposera le plan en un réseau de parallélogrammes lous égaux et dont les sommets auront des af fixes de la forme ma -i- nb ; le point ma -4- nb sera obtenu par l'intersection de la y)arallèle à la seconde droite, menée par le point ma, et de la parallèle à la première droite, menée par le point nb.

Nous désignerons sous le nom de premier parallélogramme du réseau le parallélogramme ajant pour sommets les points o, a, a -h fc, b, et nous regarderons comme appartenant à ce parallélogramme tous les points qui lui sont intérieurs, les points situés sur le côté qui va de o à a, sauf le point a, les points situés sur le côté qui va de o à />, sauf le point b ; les points situés sur les deux autres côtés n'appartiennent pas au premier parallélogramme.

De même, tous les points u -^ ma -]- nb, où m, n doivent prendre encore toutes les valeurs entières positives, nulles et négatives, sont situés aux sommets d'un réseau de parallélogr»inimes identique au précédent, et qui s'en déduirait en faisant subir à toute la figure une translation égale au segment qui va du point o au point u. Tous ces points u 4- ffici -f- nb, pour lesquels la fonction y(w) reprend la même valeur, sont situés de la même façon par rapport aux parallélogrammes du premier réseau (ma-]- nb) qui les contiennent; nous dirons de tous ces points qu'ils sont congruents ; étant donné un point quelconque u du plan, il existe un point appartenant au premier parallélogramme, et un seul, congruent au point u.

Il est clair, d'après cela, qu'on connaîtra entièrement une fonction admettant les périodes a, b, si on la connaît pour tous les points qui appartiennent au premier parallélogramme du réseau ; elle se reproduira dans les autres parallélogrammes.

Remarquons encore, en général, que si a, b, c sont les affixes

de trois points, le quatrième sommet du parallélogramme ayant

l'un de ses sommets en a et ajant pour diagonale le segment qui

joint les points 6, c a pour affixe b -\- c — a ; en eff*et, si l'on

T. et M. — I. 10

désigne par d cette affixe, on devra avoir, en vertu de la représentation géométrique de Taddition des nombres imaginaires,

il résulte de là, en particulier, que, si a, 6, c sont des périodes de la fonction y(w), le quatrième sommet de tout parallélogramme dont a, 6, c sont trois sommets figurera aussi une période.

Ceci posé, imaginons que la fonction univoquey(w), régulière en un point, admette les deux périodes a, 6 à rapport imaginaire et considérons l'ensemble des points qui peuvent figurer des périodes de cette fonction : ces points, que nous appellerons points-périodes, sont isolés, et leurs distances mutuelles sont au moins égales à e; choisissons arbitrairement l'un d'eux, et menons, à partir du point o, la demi-droite qui le contient; il y aura sur cette demi-droite une infinité de points-périodes, mais, comme on Ta vu plus haut, il y en a un qui est plus rapproché de o que les autres; désignons-le par a; décrivons du point o comme centre un cercle, avec un rayon plus grand que | a | et assez grand pour embrasser un ou plusieurs autres points-périodes, non situés sur le rayon qui passe par a; faisons tourner ce rayon autour du centre de façon à rencontrer un point-période situé dans le cercle avant d'avoir décrit deux angles droits, et arrêtons-le dès que l'on a rencontré un tel point; désignons par ^ le point-période le plus rapproché de o, situé sur le rayon dans cette nouvelle position. Il est manifeste que le triangle ayant pour sommets les points o, a, P ne contient à son intérieur ni sur son contour aucun autre point-période que ses sommets; il en est de même du parallélogramme ayant pour sommets les points o, a, a -f- p, p : ce parallélogramme, en effet, est séparé en deux triangles par la diagonale qui joint les deux points a, P; l'un de ces triangles a pour sommets o, a, P; le second a pour sommets a, p, a-hP; or si ce second triangle contenait à son intérieur ou sur son contour un point-période y distinct de ses sommets, le sommet a -f- j3 — Y du parallélogramme dont le segment qui joint a, p est une diagonale et dont y est un sommet, serait un point-période et appartiendrait au premier triangle, ce qui est impossible. Le parallélogramme dont les sommets sont o, a, a-f- p, p ne contient donc à son intérieur et sur son contour aucun autre point-

CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES SUR LBS PONCTIONS PÉRIODIQUES. 1^7

jpériode que ses sommets. Dès lors, si on le considère comme le j)remier parallélogramme d'un réseau dont les sommets auraient ■pour affixes les différentes valeurs de moL-h n^y on voit qu'aucun -parallélogramme du réseau ne pourra contenir à son intérieur ou sur son contour (en dehors des sommets) aucun point-période, sans quoi, le point congruent du premier parallélogramme serait «n point-période, ce que Ton a démontré être impossible.

Ainsi, toute période de la fonction /{u) est nécessairement de la forme ma -h /i ^, et Ton voit en particulier que cette fonction ne peut admettre trois périodes distinctes (*).

En résumé, lorsqu'une fonction univoque/(w), régulière en un point, admet un couple de périodes à rapport imaginaire, il existe

(*) La démonstration arilhniétique de celle dernière proposition résulte de lu généralisation de la méthode d'approximation des fractions continues que voici, et qui est due à M. Hermite.

Soient a,, x^, . . ., ««. w nombres réels quelconques; on peut en approcher comme il suit par des fractions à termes entiers et de même dénominateur : soit ^ un entier positif arbitrairement choisi et x un des nombres i, 2, ..., ^; prenons pour X- le nombre entier défini parles inégalités

o < oL.x - Xi<i;

si les parties entières des n expressions

sont nulles, on en restera là; sinon on prendra pour x un autre des nombres de la suite i, 1, ..., 4^. Si, après avoir essayé tous ces nombres, aucun des J(j* systèmes de n nombres entiers positifs moindres que 4^, formés par les parties entières des n expressions J(^(a..x — x.) n'est composé de nombres tous nuls, c'est que deux systèmes sont composés de nombres identiques, puisque, avec les \^ nombres o, i, 2, .... ^ — i, on ne peut former que 4^* systèmes distincts de n nombres, et que l'un de ces systèmes est formé de n nombres nuls; par suite, dans le cas supposé, il existe deux nombres Xy x\ pris dans la suite i, 2, . . ., 4^. tels que les parties entières des n expressions

X^{:l,x-x.) soient respectivement égales aux parties entières des n expressions

^{CL.X' — X'i).

Dès lors, on aura

4^1 7..{X — x' ) -{Xi— Xi)\<^]

en résumé, on peut toujours choisir les entiers x, x^^ x^y . . ., x^, tels que l'on ait

l48 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

un couple de périodes dont toutes les autres périodes sont des fonctions linéaires à coefficients entiers : un tel couple de périodes est dit couple primitif ; nous verrons d^aiileurs plus tard qu'il en existe une infinité. La fonction f{u) est dite doublement périodique.

A la vérité, rien encore n'autorise à affirmer l'existence de pareilles fonctions^ existence qui a été supposée dans ce qui précède ; c'est la construction de ces fonctions qui va maintenant nous occuper.

84. Parmi les fonctions univoques, les plus simples sont les fonctions rationnelles; mais on aperçoit de suite qu'elles ne peuvent être périodiques, à moins de se réduire à une constante. Il y a, au contraire, des fonctions périodiques parmi les fonctions transcendantes entières; telles sont les fonctions simplement périodiques

le nombre x est positif, et au plus égal à ^; il est facile d'assigner des limites

supérieures aux valeurs absolues des nombres x^, x^j ..., x^.

Ceci établi, on démontrera comme il suit l'impossibilité de trois périodes

distinctes

a : - X + X' I, ô — |x H- ji' i, c = V H- v' i ;

si l'on désigne par Xf y y z des entiers, le nombre P -h iP', où l'on suppose

P — X^ -4-jXV -i V5, P'= X'j7-r- |x'^-f- v'-s,

sera aussi une période, et il suffit, pour établir la proposition énoncée, d'établir que l'on peut choisir les entiers x, y^ z de manière que les valeurs absolues de P, P' soient moindres que toute quantité donnée : or, on lire des égalités précédentes

(Xpi'— X»x--(Hiv' — ix'v);; = P|x'— P'jx, (Xjx'— X>)>'-(X'v-Xv')5 = P'X-PX';

aucune des expressions Xjx'— X'jx, jxv' — |x'v, X'v — Xv' n'est nulle; si la première en elTct élait nulle, le rapport - serait réel, et ce cas a déjà été exclu ; or, après

avoir fixé le nombre entier (^, on peut déterminer les entiers x^y^ z de manière que les premiers membres des égalités précédentes soient moindres en valeur absolue que -7-; si donc on désigne par e, e' des nombres moindres que i en valeur

absolue, on aura

Pa'-P'lir= —, P'X-PX'= —,

ou I on tire

j, ^ Xe -4- jx£' ^ p,^ X'6-4-ix'e'

or, comme 4^ peut être supposé aussi grand qu'on le veut, P et P' peuvent être supposés aussi petits qu'on le veut.

CONSIDÉRATIONS GÉNÊKALES SUR LES FONCTIONS PÉRIODIQUES. l49

sin^r, e^; mais toute fonction entière, transcendante ou non, ^ui est doublement périodique se réduit à une constante. C'est là une proposition extrêmement importante, due à Liou- ^ille et dont Tillustre géomètre a montré qu'elle pouvait servir de principe pour fonder la théorie qui nous occupe (*). Sa démonstrarion est d'ailleurs immédiate; considérons en eflet le réseau de parallélogrammes formé, comme il a été expliqué plus haut, au moyen de deux périodes; une fonction (transcendante) entière restera évidemment finie dans le premier parallélogramme du réseau; sa valeur absolue y restera inférieure à un nombre positif iîxe A; et, à cause de la périodicité, cette valeur restera moindre que A dans chaque parallélogramme, c'est-à-dire pour n'importe quelle valeur finie de la variable : or, on a vu (n° 35) que, dans ces conditions, une fonction transcendante entière se réduit nécessairement à une constante; le théorème de Liouville est donc démontré.

85. Après les fonctions transcendantes entières, les fonctions univoques les plus simples, parmi celles qui admettent des dérivées, sont celles qui n'admettent pas d'autres singularités à distance finie que des pôles : sauf en ces pôles (et au point oo), elles sont partout régulières ; leurs pcMes sont nécessairement isolés. Elles se comportent comme des fonctions rationnelles pour toutes les valeurs finies de la variable. Rappelons encore qu'elles peuvent être regardées comme le quotient de deux fonctions entières, transcendantes ou non (n** 74) ; ce sont ces fonctions que nous considérerons exclusis^ement, et voici la marche que nous suivrons pour former celles d'entre elles qui sont doublement périodiques.

Considérons une telle fonction univoque /(m), n'ayant pas d'autres singularités à distance finie que des pôles. Supposons que Ton ait

4>(w) et ^(u) désignant des fonctions entières (transcendantes ou non) de la variable u, qui ne s'annulent pas pour une même

(*) Leçons sur les fonctions doublement périodiques (Journal de Crelle, t. LXXXVIII).

l5o CALCUL DIFFÉRENTIEL.

valeur de u; les pôles de /(u) correspondront aux zéros de W(u), ses zéros correspondront aux zéros de ^(w). Supposons que la fonction /(w) admette les périodes a, 6, dont le rapport sera nécessairement imaginaire, et envisageons le réseau de parallélogrammes formé au moyen de ces périodes. Dans le premier de ces parallélogrammes, la fonction /(m) aura au moins un pôle, sans quoi, elle n'en aurait nulle part. Elle en aura, d^ailleurs, un nombre fini, sans quoi, elle admettrait nécessairement dans ce parallélogramme un point singulier essentiel, limite des pôles en nombre infini. Si les pôles distincts appartenant au premier parallélogramme sont

tous les points congruents aux points pi, pa^ • • • ■> ^q seront aussi des pôles de la fonction, avec les mêmes degrés de multiplicité respectifs que ces points. En efTet, si m\ n sont des entiers, ma H- nb est une période et, par conséquent, Pi-f- ma -+- nb est un pôle de même ordre v/ que g/, (^ rrz i , 2, . . . , y) ; donc la fonction ^{u) admettra comme zéros tous les points p,-|- nia -h nb^ avec Tordre v/, (£ = 1,2, . . ., q)\ elJe n'en admettra pas d'autres. De même, dans le premier parallélogramme, la fonction y(i/) admettra au moins un zéro; car, autrement, la fonction doublement périodique

([ui n'admet aussi d'autres singularités que des pôJes, n'aurait aucune singularité si elle n'admettait pas quelque pôle dans le premier parallélogramme; ce serait donc une fonclion entière, et, par conséquent, en vertu du théorème de Liouville, une constante. Dans ce premier parallélogramme, /(u) ne peut admettre qu'un nombre fini de zéros; soient donc

les zéros distincts de la fonction ^(m), appartenant au premier parallélogramme, et soit [x/, (i* r= i , 2, ... ,/?), l'ordre de multiplicité du zéro a/; tous les nombres a/ -H ma -\- nb seront des zéros d'ordre [jl^, (/= i, 2, . . .,y^), pour la fonction W(u), et celle-ci n'admettra pas d'autres zéros.

Imaginons donc qu'on construise, par la règle de M. Weier-

CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES SUR LBS FONCTIONS PÉRIODIQUES. j5i

Strass (n" 71), une fonction transcendante entière a* m (*) admettant jour zéros simples tous Jes nombres ma -h /lè, et n'en admettant pas d'autres, on devra avoir, en vertu du théorème que nous venons de rappeler, et en désignant par ^(u)^ ^(^) ^^^ fonctions ^transcendantes) entières de w,

4>(w)=e?(«^[a'(a— a,)Jl^.[c'(a — a,)]lAa...[a'(a — ap)]K-/», V(M) = c4'<«)[o'(w-p,)]Vi[3'(a-p,')]v,...[a'(w-p^)]v,.

En effet, on voit de suite, comme au n" 72, que la fonction, régulière pour toute valeur finie de w, et ne s'annulant pour aucune valeur de w,

est une fonction (transcendante) entière de u de la forme

lien résulte que la fonction /(w) est nécessairement de la forme

fin) = ^,.A^i^-^xW^"A^(u-^ap)\^r

Nous retrouverons cette forme plus tard, avec une signification plus précise; nous avons seulement voulu montrer ici comment l'étude de la fonction (^u s'imposait d'une façon nécessaire; c'est la construction de cette fonction et l'examen de ses propriétés élémentaires qui vont maintenant nous occuper.

C'est Eisenstein qui, le premier, a construit cette fonction (2). Toutefois le produit infini à double entrée qu'il considère n'est pas absolument convergent et est, par suite, moins maniable que celui que nous allons considérer en suivant la méthode et en adoptant les notations de M. Weierstrass.

(') Dans les Chapitres qui suivent, on désignera par ce symbole une fonction particulière entièrement déterminée.

(*) Génaue Untersuchung der unendlichen Doppelprodukte, aus welchen die elliptischen Funktionen als Quoticnten zuzammengcsetzt sind. { Eisenstein* s Mathematische Abhandlungen, p. ai3; Berlin, i84'7.)

l52 CALCUL DIFFÉRENTIEL.