CHAPITRE II

LA FONCTION oTm ET LES FONCTIONS QUI EN DÉRIVENT.

I. — Les trois fonctions (Tu,}^Uy pu. L'argument augmente de scd^.

86. Nous adopterons les iiolalions et les conventions qui suivent :

Désignons par 2w,, 2(03 deux nombres dont le rapport soit imaginaire; nous apprendrons bientôt à former des fonctions doublement périodiques, pour lesquelles ces nombres constitueront un couple primitif de périodes, et nous emploierons de suite les mois périodes pour désigner ces nombres; quoiqu^il en soit, nous considérerons le réseau de parallélogrammes formé par les points

2/?ia>i-h 2/10)3,

nij n prenant toutes les valeurs entières positives, nulles ou négatives; comme dans le n" 83. Nous désignerons sous le nom de premier parallélogramme le parallélogramme dont le premier, le deuxième, le troisième et le quatrième sommet auront respectivement pour affixes

o, 2U)i, 2tO| -4- 9.to3, 2(03;

\e premier, le deuxième, le troisième etle^MaZ/Vf^mecôté joignent respectivement les points o,2(o,; 2(o,, 2(0^ -|- 2(03 ; 2(04-4-2103, 2(03; 2(03,0. Comme au n" 83, nous regarderons comme appartenant au premier parallélogramme tous les points intérieurs, et tous les points situés sur le premier et le quatrième côté, sauf les points 2(o,, 2(03. Nous adopterons des conventions analogues pour le parallélogramme dont les sommets sont

w, a -f- acoj. M -i- '2 0)1 -+- 20)3, m -1-20)3,

LA FONCTION (i U ET LES FONCTIONS QUI EN DÉRIVENT. l53

qui sera dit parallélogramme des périodes relatif au point u; tous les points m -f- 2/nw,H- 2/1W3 sont dits congruents; supposons en particulier que le point u appartienne au premier parallélogramme, tous les points congruents sont situés, par rapport aux divers parallélogrammes du réseau qui les contiennent respectivement, de la même façon que le point u par rapport au premier parallélogramme. Étant donné un point quelconque u' du plan, il existe un point 2/ appartenant au premier parallélogramme et congruent au point u' '^ Taffixe de u est la valeur réduite de u' ,

Dans le langage de l'Arithmétique, on dit que les nombres u et w' sont co/i^rw5 par rapport au système de modules 2 to,, 20)3, ou encore, congrus modulis aw,, 2(03, si Ton a, en désignant par m et n des nombres entiers,

a' = M -H 2ma>i-i- '^/iwa.

et l'on écrit

m'= M[mocld. 2 0)1, 20)3] (»).

87. Nous allons maintenant nous occuper du problème posé à la fin du Chapitre précédent, de la construction d'une fonction transcendante entière admettant comme zéros simples tous les nombres imtù^-\- 2/i(0s, en désignant toujours par m, n des entiers positifs, nuls ou négatifs.

La série à double entrée

Jb^ ( 2 //l toi -h- 2 /l W3 )3« m, n

étant absolument convergente (n° 18) lorsque a est un entier plus grand que deux, on voit que la fonction cherchée est une fonction transcendante entière de genre deux. Pour la construire, il faudra donc, d'après le théorème de M. Weierstrass (n**71),

(*) La notation un peu singulière modd. a été proposée par Gauss {Werke^ t. II, Nachlass, p. 339); elle a été adoptée et est employée couramment par M. Kronecker et ses élèves, pour distinguer les congruences suivant un système de modules des congruences suivant un seul module. Cette même notation est adoptée en Algèbre par M. Kronecker dans un sens bien plus général. {Voir Arithmetûche Théorie der algebraischen Grossen , Festschri/t et les Sitzungsberichte der Berliner Akademie^ surtout depuis 1886.)

l54 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

prendre pour facteurs primaires les quantités

dans chacune desquelles, nous le rappelons encore une fois, les deux facteurs doivent être regardés comme liés indissolublement. Le produit infini à double entrée

OÙ s doit être remplacé par les diverses valeurs que prend l'eiLpression

quand on y met à la place de m, n les différents nombres entiers, positifs, nuls ou négatifs, à l'exclusion de la combinaison m = <>, n = G, est alors absolument convergent quel que soit u. Il jouit de toutes les propriétés que nous avons rappelées au n° 79. Il en est de même du produit infini à double entrée

qui admet pour zéros simples toutes Jes valeurs de s et n'admet pas d'autres zéros. En disant, ici et plus loin, toutes les valeurs de 5, nous entendons toutes les valeurs précédemment définies, et en outre la valeur o; en d'autres termes, toutes les valeurs que peut prendre l'expression a m w, -f- 2/10)3 quand m et n sont des entiers quelconques.

C'est celte dernière fonction transcendante entière que nous désignerons par

Cm

ou, quand nous voudrons mettre les périodes dont on part, en évidence, par

Alors, toute fonction transcendante entière admettant les mêmes

LA FONCTION îJ*!/ ET LES FONCTIONS QUI EN DÉRIVENT. I05

zéros simole^. «^* n'en admettant pas d'autres, est de la forir "

l54 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

prendre pour facteurs primaires les quantités

\ ( l ?f ) g2/na>, -f- înw, "*" i {imtût-*-ln(a,)* •

l\ 2mtOi-r- '2/10)3/ )*

dans chacune desquelles, nous le rappelons encore une fois, les deux facteurs doivent être regardés comme liés indissolublement. Le produit infini à double entrée

OÙ s doit être remplacé par les diverses valeurs que prend l'expression

quand on y met à la place de m, n les différents nombres entiers, positifs, nuls ou négatifs, à Texclusion de la combinaison m = o, n = o, est alors absolument convergent quel que soit u. Il jouit de toutes les propriétés que nous avons rappelées au n° 79. Il en est de même du produit infini à double entrée

qui admet pour zéros simples toutes les valeurs de s et n'admet pas d'autres zéros. En disant, ici et plus loin, toutes les valeurs de s, nous entendons toutes les valeurs précédemment définies, et en outre la valeur o; en d'autres termes, toutes les valeurs que peut prendre l'expression 2 ww, -1- 2/10)3 quand m et n sont des entiers quelconques.

C'est cette dernière fonction transcendante entière que nous désignerons par

ou, quand nous voudrons mettre les périodes dont on part, en évidence, par

Alors", toule fonction transcendante entière admettant les mêmes

LA FONCTION (3*1/ ET LES FONCTIONS QUI EN DÉRIVENT. l55

zéros simples, et n'en admettant pas d'autres, est de la forme

où ff{ii) désigne une fonction entière quelconque. 88. On a donc, par définition,

(II.) *"= "!!"!('- 1

En prenant la dérivée logarithmique du produit infini à double entrée, comme s'il s'agissait du produit d'un nombre fini de facteurs, on obtient une série à double entrée

U ^mà I U -' S S S^\

quireprésente(n°71) la dérivée logarithmique — — de la fonction (3* ^/; les éléments d'un même terme

1 lui

doivent être considérés comme liés indissolublement.

Les pôles de la fonction -— - que cette série représente sont ici

bien en évidence : ce sont tous les points s ; ce sont des pôles simples.

Nous désignerons, par Çw, la fonction ^— ainsi engendrée de (iu.

Lorsque nous voudrons mettre en évidence les nombres w,, (O3 au moyen desquels elle est formée, nous écrirons

On a donc

La fonction ^u engendre elle-même, par dilTérentiation, une fonction — Ç'i/ qui est représentée par la série à double entrée

l54 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

prendre pour facteurs primaires les quantités

2/nai

dans chacune desquelles, nous le rappelons encore une fois, les deux facteurs doivent être regardés comme liés indissolublement. Le produit infini à double entrée

OÙ s doit être remplacé par les diverses valeurs que prend l'expression

quand on y met à la place de m, n les différents nombres entiers, positifs, nuls ou négatifs, à l'exclusion de la combinaison m = <>, n = G, est alors absolument convergent quel que soit u. Il jouit de toutes les propriétés que nous avons rappelées au n° 79. Il en est de même du produit infini à double entrée

n'''*/ "\ 7+ ït'

qui admet pour zéros simples toutes les valeurs de s et n'admet pas d'autres zéros. En disant, ici et plus loin, toutes les valeurs de s, nous entendons toutes les valeurs précédemment définies, et en outre la valeur o; en d'autres termes, toutes les valeurs que peut prendre l'expression 2mW| -f- intù^ quand m et n sont des entiers quelconques.

C'est cette dernière fonction transcendante entière que nous désignerons par

ou, quand nous voudrons mettre les périodes dont on part, en évidence, par

a'(M I ii)i, 0)3).

Alors", toute fonction transcendante entière admettant les mêmes

l54 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

prendre pour facteurs primaires les quantités

f \ 2/WtOi-r- 'à.n^^J y

dans chacune desquelles, nous le rappelons encore une fois, les deux facteurs doivent être regardés comme liés indissolublement. Le produit infini à double entrée

OÙ 5 doit être remplacé par les diverses valeurs que prend l'expression

quand on v met à la place de m, n les différents nombres entiers, positifs, nuls ou négatifs, à l'exclusion de la combinaison m = o, n = G, est alors absolument convergent quel que soit w. Il jouit de toutes les propriétés que nous avons rappelées au n° 79. Il en est de même du produit infini à double entrée

U 1 ll>

qui admet pour zéros simples toutes les valeurs de s et n'admet pas d'autres zéros. En disant, ici et plus loin, toutes les valeurs de 5, nous entendons toutes les valeurs précédemment définies, et en outre la valeur o; en d'autres termes, toutes les valeurs que peut prendre l'expression imiù^-\- irnù^ quand m et n sont des entiers quelconques.

C'est cette dernière fonction transcendante entière que nous désignerons par

ou, quand nous voudrons mettre les périodes dont on part, en évidence, par

3'(m I li)i, 0)3).

Alors", loute fonction transcendante entière admettant les mêmes

LA FONCTION (3* M ET LES FONCTIONS QUI EN DÉRIVENT. l55

zéros simples, et n'en admettant pas d'aulres, est de la forme

où g{u) désigne une fonction entière quelconque. 88. On a donc, par définition,

(II.) «'«=«n'"l(-")

7. leT-^i*.

En prenant la dérivée logarithmique du produit infini à double entrée, comme s'il s'agissait du produit d'un nombre fini de facteurs, on obtient une série à double entrée

U ^id I U -

quireprésente(n°71)ladérivée logarithmique -— de la fonction (3* «/; les éléments d'un même terme

doivent être considérés comme liés indissolublement.

Les pôles de la fonction — - que cette série représente sont ici

bien en évidence : ce sont tous les points 5; ce sont des pôles simples.

Mous désignerons, par Çw, la fonction - — ainsi engendrée de ^11,

lorsque nous voudrons mettre en évidence les nombres (0|, (O3 au moyen desquels elle est formée, nous écrirons

;(a !to,,toj).

On a donc

(II,) a«)=^iog^« = ,;-.2'"li7^+j-?|-

La fonction ^u engendre elle-même, par differentiation, une fonction — Ç'w qui est représentée par la série à double entrée

l56 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

obtenue en différentiant, terme par terme, la série qui représente — ^u. Les éléments d'un même terme

doivent toujours être regardés comme liés indissolublement.

Les pôles de la fonction — ^^ u sont bien en évidence : ce sont tous les points s ; ce sont des pôles doubles. Nous désignerons par pu ou, si l'on veut, par j3(w | Wj, 0)3), cette fonction — C'a engendrée de Çw et, par suite, de (iu.

On a donc

De même pu engendre par différentiation une fonction p'u qui est représentée par la série à double entrée

obtenue en différentiant, terme par terme, la série qui représente pu. Les pôles de p^ u sont bien en évidence : ce sont tous les points s ; ce sont des pôles triples.

On a donc

sf

où la somme est étendue à toutes les valeurs 5= a/wwiH- 2/1(1)3, y compris zéro.

89. Les propriétés qui suivent se lisent immédiatement sur les formules (1I|4)

La fonction du est impaire. En eflet, à chaque valeur de 5, non nulle, correspond évidemment une valeur égale et de signe contraire, en sorte que, au facteur

LA PONCTION S'a ET LES FONCTIONS QUI EN DÉRIVENT. 167

correspond le facteur

et ces deux facteurs se permutent Tun dans l'autre quand on change u en — M.

Il en résulte immédiatement que Çw est aussi une fonction impaire, pu une fonction paire Qi p' u une fonction impaire; cela se voit d'ailleurs aussi sur les formules (1I2 4).

On a encore immédiatement, quelque soit le nombre a différent

de zéro,

(i) ^(fléw I otoi, acoj) = a (r(a| 0)1, W3),

(III) I M î(aM|aW|, aws) = - Ç(w|wi, W3),

(3) p(aw|au>,, aw3)= - p(m|u>,, W3).

90. Soit 5 la distance du point o au plus rapproché des sommets 5 du réseau de parallélogrammes.

Si l'on a I // 1 < S, on peut écrire

donc, en remplaçant dans l'expression de !^e/ chaque terme qui Ggure sous le signe \] par

et en ordonnant ensuite, ce qui est permis (n"* 38), on aura, sous la seule condition | w 1 <; o,

ou, en tenant compte de ce que, dans les sommes de la forme

^trt-Hl'

l58 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

les termes se détruisent manifestement deux à deux,

(IV,) Ç" = i-«'2"'i-"'i;'"i-«'2"'i— ••

En intégrant par rapport à ^, on a

yî«rf«.=G-iog«--^2"i-ï2"i--- '

C étant la constante d^intégration et la détermination de loga dépendant du chemin d'intégration. On aura donc

vu u

La constante C doit être prise égale à zéro, afîn que le rapport

ait pour limite l'unité quand u tend vers zéro, ce que la formule (lli) exige manifestement. En remplaçant