yn 1 i.v
par le développement en série entière en w,
on voit que (i u peut se mettre sous la forme
(IV,) ^„ =. „ I „5 2;"i - i "^ 2"i -• • ••
Ce développement est valable quel que soit w; il n'a, à la vérité, été établi que sous la condition | // | <; 8 ; mais, comme la fonction rru peut être mise sous la forme d'une série entière en m, partout convergente, et que cette série doit coïncider avec la série (IV|) pour toutes les valeurs de u qui satisfont à la condition précédente,
LA PONCTION 'iu ET LES FONCTIONS QUI EN DÉRIVENT. 169
elle coïncide nécessairement (n° 36) avec celte même série, quel que soit u.
On remarquera que le terme en u^ manque dans le développement de du.
D'un autre côté, en difTérentiant par rapport à u la relation (IV^), on trouve la formule suivante, que Ton aurait aussi bien pu déduire de la définition de pi/,
(') I ^-iC)
(IV,) P« = ;iï-^'J«'2l 7'-^'"''Zi Jï-^--"
Celte formule sera valable tant que Ton aura | ^^ | << 3; si cette condition n'est pas vérifiée, le second membre n'est pas convergent. En difTérentiant encore une fois, on trouve
(IVv) P"=-^-^<^"^ ^~^^''"\2d 7^'^""
La méthode précédente permet sans doute de calculer autant de termes que l'on voudra dans le développement en séries de du, * Çw, pu-^ mais elle ne permet pas de trouver la loi de formation de ces séries. Ce n'est qu'après avoir obtenu des équations différentielles auxquelles doivent satisfaire ces fonctions que l'on peut établir cette loi. Il convient toutefois de signaler dès maintenant ce fait important que les coefficients des séries (IVi.^) sont des polynômes entiers à coefficients rationnels par rapport aux deux nombres
(IV,) ^, = 6o^ -, ^3-i4o2;^ -,'
Les nombres g2 et gz ont reçu le nom AUnva riants, qui sera justifié plus tard.
91. La formule (II| ) peut être transformée comme l'a été la formule analogue pour simzx dans le n^ 79. En désignant par a un nombre assujetti seulement à ne pas être égal à l'une des valeurs de s^ on aura, en remplaçant dans (II| ) u par a -i- a,
l6o CALCUL DIFFÉRENTIEL.
ni') , peut être
regardé comme le produit des trois quantités
rf 1 A>
et, à cause de la convergence manifeste de chacun des trois produits infinis dont les facteurs s^obtiennent respectivement en donnant à Sy dans les expressions précédentes, toutes les valeurs dont ce symbole est susceptible, sauf la valeur zéro, il est clair
que est égal au produit de ces trois produits infinis.
Le dernier d'entre eux est égal à une puissance de e dont l'exposant est
mais, en vertu des formules (II2) et (II3), on a
jhaà \ a — S S s^\ a
D'autre part, le second des produits infinis est, en vertu de la formule (II« ), égal à
a On a donc
^Il"'|('"r-«)'""'"*'^'' '•'"""
LA PONCTION ^U ET LBS FONCTIONS QUI EN DÉRIVENT. l6r
En faisant rentrer parmi les facteurs du produit infini le facteur
i / - \ it \ II*
qui n'est autre chose que le facteur général qui figure sous le signe TT , dans lequel on supposerait 5 = 0, on aura finalement
^., , Cf(u-ha) -iiT^a-h-pa TT 1 / ^ \ -^ Z , if
CCa) 11(\ s — a) y
OÙ S doit prendre toutes les valeurs, sans exception, que l'on obtient en remplaçant, dans l'expression a/w Wi -{- 2/10)3, m ci n par tous les nombres entiers, positifs, nuls ou négatifs.
En prenant les dérivées logarithmiques, par rapport à 1/, des deux membres de l'équation précédente, on tombera sur la formule
(V2) Ç(a-+-a)— ;a-4-Mj)a= V ] — — ! —
Et, en prenant les dérivées par rapport à u dans les deux membres de cette dernière égalité, on a
Ces deux égalités se déduiraient tout aussi bien des formules (II2) el (II,).
92. Les égalités (V) ont ceci de très remarquable -que les quantités qui figurent dans les seconds membres ne changent manifestement pas quand on y remplace a par a -\- s, où s est l'une quelconque des valeurs que peut prendre 2/n(ji)| -f- 2/10)3. Il est clair, en effet, que, par ce changement, l'ordre des facteurs ou des termes qui figurent dans le produit infini ou dans les séries est seul modifié. Ainsi, considérés comme des fonctions de a, les premiers membres sont des fonctions doublement périodiques à périodes 20)1, 20)3.
T. et M. — I. II
l62 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Voici quelques conséquences essentielles qui résultent de cette remarque et dont nous empruntons la déduction à Halphen (*):
1° On a
d'où, en remplaçant u par b — a,
on voit donc que les deux membres sont égaux à une constante, indépendante de a et de 6. Pour déterminer cette constante, supposons d^abord que les deux entiers m et n ne soient pas tous deu^
pairs, en sorte que -5 ne soit pas un des nombres exclus pour a;
posons alors a^= et rappelons-nous que p est une fonction
paire; on voit que la constante cherchée est alors nulle.
On a donc, en particulier, pour m = i, /i = o et pour m = o,
p(w -i-2W|) = pa, p(m -hawj) = pw, et, par conséquent, quels que soient les entiers m et /?, (VI3) p(t*-ha/nwi4-2/iW8) = pa.
2" On a de même, en conservant les mêmes notations,
En réduisant, au mojen de l'égalité précédente et en posant u = b — a, il vient
Ici encore les deux membres sont donc égaux à une constante indépendante de a et de b. Pour la déterminer, dans le cas où m
et n ne sont pas pairs simultanément, posons a= > ce qui
est alors permis; rappelons-nous aussi que la fonction Ç est impaire, et nous aurons alors, pour la valeur de celle constante,
C) Traité des fonctions elliptiques, t. I, p. 367.
UL FONCTION O'c/ ET LES FONCTIONS QUI EN DÉRIVENT. l63
En particulier, pour m = i , /i := o, pour /n= — i, /i= — i et pour /n = o, 71 = I , on a
Ç(a-Hawi) = Ça-+- aÇwi, Ç(a-4-2W3) = Ça-H 2Çu>3,
où le nombre o>2 est défini par la relation
(Oi -4- coj -4- u)j = o
et est introduit pour des raisons de symétrie dont le lecteur s^apercevra bientôt.
On en déduit
Ça = Ç(a — awj)-h aÇwj = Ç(a -h 2u>i4- 2W3) h- 2^(0» de sorte que Ton a
Çu>i -h Çcoj -h Ça)8 = o.
On pose habituellement
. Çw3 = r^3,
en sorte que la relation précédente peut s'écrire (VI4 bis) ï3i-^73t-i-î)3 = 0
et que l'on a, en écrivant u au lieu de a,
Ç(M4-2Wa) = îa-h27)3t (a= i, 2, 3);
donc aussiy par répétition, quels que soient les entiers m et n, (VI3) Ç(u-h2mwi -h 2/1(1)3) = Ça -4-2/117)1 4- 2 /ir^3.
3® Enfin, on a, en conservant toujours les mêmes notations,
^{u-^a-^-s) -MÇ(<n-j)-i-yp(rt-i-*) CCm -ha) — «Ça-n'^pn ^(a-Hs) ~* Ca
En réduisant, au moyen des égalités précédentes, il vient
l64 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
et, en remplaçant u par b — a,
Ici, encore, les deux membres sont égaux à une constante indépendante de a et de by et, si m, n ne sont pas tous deux pairs, on déterminera cette constante en posant
a = = — (mu>i-4- /i(U3),
ce qui est alors permis. On obtient, dans ce cas, pour cette constante, la valeur
on a donc, pourvu que Tun des deux entiers m, n soit impair, et, en particulier,
a'(a -^ 2(1),) = — eîTj,{tt-»-w,) 3»^, La première de ces trois égalités, par répétition, donne
^(m -f- 2/nw,) = (— i)wgîri,(mi4-»-m«to),}^
de même
a'(w-4-2/i (03) = (— i)« e*TQït««-*-«'WïJ;
en remplaçant, dans l'avant-dcrnière égalité, u par m -f- 2/1(03 et <;n tenant compte de la dernière, il vient
sans qu^ici Ton ait à exclure le cas où m et n seraient pairs à la fois; on a posé, pour abréger,
A = 27)1 [m{u-\- 2/I3W3) -h m*a)i] H- 27)3 [nu -h /l'w,]
= (2mT,i-f- 2/ir^3)(w+ nnxii-Jr nco,) 4- 2^/1(7)1(03 — ïi3(»>i).
En échangeant m, (Oi, 7)1 et /i, (03, 7|3, on aurait de même C(a4- 2/n(oi-f- 2/1(03) = (— !)'«-»-« e^ yu,
LA FONCTION O^K ET LES FONCTIONS QUI EN DÉRIVENT. l65
OÙ
B = (a/WTji-h a/ir^i)(w -H mwi-f- nwj) — 2m/i(7)iWj — 733t*>i)-
Il faut que Ton ait e* = e® et, par suite, que
4/nn(7),(i), — 7)j(D|)
soit uu multiple entier de 2 Te, quels que soient les entiers m, n. Si, en particulier, on prend /w =: i , /i = i , on voit que
est un multiple entier de — • On peut ajouter que c'est un multiple impair, puisqu'on doit avoir à la fois
o* ( a -h a u>, ) = — eî^i»^«-^«^ 3* u,
où
A = 27), (m -h w,)-i-a(T^iu>3— r^jwi),
ce qui implique
et(r„w,-Yj,w,) = I .
On prouvera plus tard (n° 108) que Ton a
suivant que le coefficient de i dans — ^ est positif ou négatif.
Quoi qu'il en soit, dans le seul cas d'abord exclu, celui où m et n sont pairs à la fois, la quantité
sera un multiple de 21:/, et l'on aura, dans ce cas,
gï/n«(r)|W,-7}jto),) = 1^
On a donCy dans tous les cas,
( Vit ) 0'(M-h2//lCDi-ha/lO)3) = (— i)mii4-/»n-« e(t/nr),-t-î«r),) («+ma>,-i-iia>,) (f n ,
