Ajoutons encore que, de la double périodicité de pu, on

l66 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

déduit immédiatement celle de toutes ses dérivées p'</, p^ u^ .... On a donc

(Vie) j)'(a-f- 2 mwi-f- 2/10)3) = p'u.

Si l'on fait dans cette formule w = — Wi , m = i , /t = o, on a

p'wj=:p'(— ««>i);

d'ailleurs, puisque la fonction pu est paire, la fonction p^ u est impaire; on a donc

p'tui =— p'W| =0,

puisque o>i n'est pas un pôle de p' a. De même p'(i)2 = o, p'(ù^z=o : ainsi

(Vle^w) p'(oa=o.

Le lecteur retrouvera immédiatement ces résultats sur l'égalité qui donne, par exemple,

2*^ .^[(2m — 1) a)i-i-2/ieojj''

il est manifeste que le second membre est composé de termes égaux et de signes contraires qui se détruisent deux à deux. On verra de même que les dérivées d'ordre impair de la fonction pu s'annulent pour u = (l)^, (02, Wj. La formule (VIo bis) pour a = 1 , 2, 3 se trouve ainsi établie à nouveau.

La périodicité de p' u est d'ailleurs mise directement en évidence par la formule

car le second membre ne change évidemment pas quand on change u en u-\-im^ (1)4 -\-in^ 0)3, où m^ et n^ sont deux entiers déterminés quelconques : dire que l'indice s prend toutes les valeurs 2.^10)1 -i- 2/1(03 ou dire que s — 2/?i|(0| — 2/11(03 prend toutes les valeurs 2/?i(0| 4- 2/1(03, c'est, en effet, dire exactement la même chose, et la somme double étant absolument convergente,

Là fonction ^u et les fonctions qui en dérivent. 167

on peut, sans changer sa valeur, intervertir à volonté l'ordre de ses termes.

De la périodicité de p'u ainsi établie directement, on aurait pu déduire celle àe pu et, par suite, les formules établies plus haut pour Ç(w -h 2/na)| -j- a/iw.,) et rf(w + 2 mwi -j- a/iwj). En effet, de l'égalité

par exemple, on déduit, en intégrant,

j:)(M4-2a>i) = pw-h c,

où c est une constante; si l'on pose m = — Wi, cette dernière

formule devient

pwi =p(— a>i)4-c;

on en conclut que c = o, car pu est une fonction paire et (o, n'est pas un pôle de pu.

De même, la relation

donne, en intégrant,

c est encore la constante d'intégration, dont on trouve la valeur '2Z^ci)|, en supposant u-= — (0| et en se rappelant que Ça est une fonction impaire. Enfin, en intégrant l'équation différentielle

on trouve

et l'on trouve c = coi en supposant encore w = — (i>|.

Ajoutons que les périodes a(0|, 2(03 constituent un couple de périodes />rf/n//iVe5 pour la fonction pw; en effet, puisque o est un pôle de celte fonction, toute période Ae pu doit aussi être un pôle; or la série qui définit pu montre qu'il n'y a pas d'autres pôles que les nombres s congrus à zéro, modulis awi, 2(03.

Le parallélogramme que nous avons désigné comme premier peut donc aussi être désigné sous le nom de primitif.

Nous avons ainsi établi, sur leur définition même, quelquesunes des propriétés fondamentales des fonctions du^ X^u^ pu.

II. — Premières relations entre les fonctions <îuy X^u, pu, p'u.

94. Nous allons maintenant faire une courte digression pour établir entre ces fonctions quelques relations plus cachées, mais de la plus haute importance. A la vérité, nous aurons occasion plus tard de retrouver ces relations par une voie peut-être plus naturelle, et comme conséquence immédiate de l'application aux fonctions doublement périodiques du théorème fondamental de Cauchy sur les intégrales de fonctions d'une variable imaginaire prises le long d'un contour, mais il nous sera commode, quand nous continuerons l'étude directe de la fonction d, d'avoir ces relations, afin de pouvoir écrire nos formules sous une forme plus définitive; les nombreuses propositions de la théorie des fonctions elliptiques, d'une part, se groupent, comme le verra le lecteur, autour d'un petit nombre de principes, et, de l'autre, se pénètrent mutuellement : la digression que nous allons faire évitera des répétitions et des renvois fatigants; elle aura d'ailleurs l'avantage de montrer immédiatement au lecteur le lien des fonctions que nous venons d'introduire, d'après M. Weierstrass, avec des questions qui lui sont certainement familières.

C'est tout d'abord une relation, analogue à la formule

I i ^ fi'\n(a -h x)s\n(a — x)

sin'ir sin*a sin^arsiii^a

que nous allons établir. La fonction rf//joue, à certains égards, le même rôle que la fonction

dont la dérivée logarithmique admet pour dérivée

sin*rJ7

de même que la dérivée de la dérivée logarithmique de <iu est — pu.

Les deux fonctions de u

<^(a ■+- u)(a(a — u) pu — pa. — ^ — ^

se rapprochent naturellement Tune de l'autre; tout d'abord, elles sont toutes les deux doublement périodiques, avec les périodes 2cO|, 20)8, ainsi qu'il résulte, pour la seconde, de la formule (VI|), qui montre que, si l'on remplace u par w-hatOa, le produit (^(1/ -}- a) d{u — a) se reproduit multiplié par le facteur

exactement comme d'^ii. D'ailleurs, des deux fonctions considérées, la première pw — pa s'annule pour toutes les valeurs qui annulent le numérateur de la seconde, et, ce qui importe surtout dans la démonstration qui va suivre, les pôles des deux fonctions sont les mêmes avec les mêmes ordres de multiplicité; ce sont les nombres 5, qui tous sont des pôles doubles pour les deux fonctions; aux environs du pôle o, la fonction pu — pa se présente sous la forme

d'un autre côté, le produit i{a + u)<i{a — u) est le produit des deux séries

cfa H ^ a -\ ^a -+-...,

(fa ^ a H T^a -^ . . . :

les premiers termes de son développement suivant les puissances de // sont donc

d'ailleurs le développement de (i^u commence par un terme en u^^ avec le coefficient un, puisque celui de du commence par le terme 1/ : on a donc, dans le voisinage du pôle o,

par conséquent, la différence

cf(a-h u)^(a — u) pu — pa -T — -T

est régulière aux environs du point o; comme c'est une fonction

doublement périodique, qui admet pour période Tun quelconque des nombres 5, qui ne peut pas avoir d^autres pôles que ces nombres, et que tout se passe autour de ces points comme autour du point o, il est clair qu^elle est régulière en tout point à distance finie; c'est donc, en vertu du théorème fondamental de Liouville, une constante, et cette constante est nulle, comme on s'en assure en supposant u = a; on a donc

(VIIi) . pu — pa=: ^ — ^ — 7 :

c^est la première relation que nous voulions établir.