La relation (V1I|) conduit immédiatement à une relation
très importante, qui résulte de Tidentité évidente
En désignant par a, 6, c, u des nombres quelconques dont nous supposerons d'abord qu'aucun n'est congru à zéro modulis 2(0|, 2 cO)' et en posant
A=pa, B = p6, C = pc, D = pa,
on a
(pw — pa)(p6 — pc)-i-(pa — p^>)(pc — pa)
-+-(pa — pc) (pa — pô) = o.
En remplaçant les quantités pu — pa, pb — jdc, ... par
a'(a-J- a)a'(a — a) cf{b -^ c) ^{b — c)
Tûï^ïa ' ^i'b tf» c '
et multipliant par d^iKi^ad^bd^c^ il vient
/ 3'(a-+-a)G'(a~a)G'(^-hc)3'(^> — c) (VIIi) ' -+-a'(M-f-6)a'(M — 6)a'(c-4-a)a'(c — a)
' -+-a'(MH-c)3'(M — c) 3'(a -H ô) a* (a — 6) = o.
Le premier membre de cette égalité, étant évidemment une fonction continue des quantités ;/, a, fr, e et restant nul lorsque quelqu'une de ces quantités s'approche de l'un des nombres congrus à zéro modulis liù^^ swj, est nécessairement nul encore lorsqu'on atteint cette limite. L'égalité (VII2) a donc lieu, quels que soient les nombres ;/, a, 6, c.
Cette belle identité offre ceci de remarquable qu'elle caractérise la fonction du] d'une façon plus précise, il n'existe pas d'autre fonction transcendante entière que la fonction du dont la dérivée se réduise à t pour w = o et qui jouisse de la propriété qu'exprime l'égalité (VII^); nous renverrons pour la démonstration de ce théorème, dont nous ne ferons pas usage, au Traité des fonctions elliptiques de Halphen, t. I, p. 187.
97. En prenant la dérivée logarithmique des deux membres de la formule (Vllf), successivement par rapport à w et par rapport
à a, on obtient les relations
= Ç(a H- m) — Ç(a — a) — 2Çm,
pu — pa — p'a
= Ç(a -h u) -h}^{a — a) — a Ça,
pu^pa qui, par addition et soustraction, donnent
^=-^-— = 2}:(u ± a) — 9.}:u zn lia,
pu — pa -» -T- -»
formule que l'on écrit habituellement
(VII3) Ç(u=ha) = a")±î«-+-- ^-^^^^>
2 pu — pa
et qui porle le nom de formule d^ addition de la fonction Ç. On a, en particulier,
2 J)i/— pwa
En prenant la dérivée, par rapport à w, de la relation (VII3), on obtient de même \^ formule d addition relative à la fonction pu
^ *^^ ^ *^ idulpu — pa]
Dans ces formules, les signes supérieurs se correspondent.
98. Nous allons encore déduire de la relation ( VII| ) une relation entre p^/ et sa dérivée p'u, qui nous amènera, dans un instant, à ce fait capital que la fonction pu vérifie une équation différentielle très simple du premier ordre.
On peut écrire la relation (Vlli )
pu — pa a'(w -4- a) o'(w — a) ^ u — a ^^u^^a u — a '
en faisant tendre u vers a et passant à la limite pour e/ = a, on a
donc, quel que soit a,
, (jTaa) p a = ^^ -•
LA FONCTION <i U ET LES . FONCTIONS QCI EN DÉRIVENT. 178
Or la formule (Hi), si Ton y remplace u par 2W, devient
\ ( l ) gmo),-+-/i(i),"*'î(/no),-H/i(i),»« ( .
coupons les facteurs oii m, n sont pairs, ceux où m est impair et n pair, ceux où m est pair et n impair, ceux où m et n sont impairs; en tenant compte de la formule (V|), qui donne, pour
(\ s — ^ol/ ) Cwa
et en tenant compte aussi de la relation r^i -f-Tj 2 + t, 3 = o, nous obtiendrons, pour la valeur de <^(2w), l'expression
3'(w -h (1)1) G'(m -4- o)*) 3'(M-hU).i) V 'p(0, 4- nwt -H no),)
(7(1)1 TOJ» Ta>3
On a donc
Co)i o'm jtojd'a o'wsG'w
et, par suite, en changeant u en — u et en remarquant que les fonctions <^ et p^ sont impaires,
, (J'(0>, — m) a'Co), m) a'(t03 — W) - (p(i),-Hp(i), + pO),)
En multipliant ces deux égalités Tune par Tautre et en tenant compte de Tégalité (VII|) pour a = coa, on a enfin
p'*a = 4(pM — pa>i)(pw — pu),)(pw — pu>3)e"'<''^»-*-^*^«-^P^''.
Mais les deux fonctions pu et p'u sont doublement périodiques et admettent le couple de périodes (2(04, 2(03). La fonction transcendante entière
gl«« (p W, -+-p Wj -t-p fi),»
doit donc être aussi doublement périodique diaprés Tégalité précédente; elle ne peut donc être qu'une constante, comme on le voit directement ou comme il résulte du théorème fondamental de Liouville. Or ceci exige que l'on ait
p (i)i -h p (1)1 H- p cua = o.
Ainsi la fonction pu et Sdi dérivée p'u sont liées par la relation
(VII,) p'^u = i(pu — ptùi) (pu — ptùt) (pu — pîû^).
Nous en concluons, en posant
(VII4) pa)oi = ea, Ci-l- e,-f- 63= o,
que la fonction de u^ yz= pu^ est une intégrale particulière de l'équation différentielle du premier ordre
dont l'intégrale générale est donc^' = p(w -h c), où c est une constante arbitraire. En prenant pour
/4(^ — ei)(r — ^ï)(^ — «s)
celle des deux déterminations de cette racine qui est égale à — p'u, nous voyons aussi que les deux variables u et y=spu sont liées par la relation
dy
y v^4(7 — ^i)(r-^î)(J' — ^8) car, pour w = o, on a j^ = 00.
99. Avant de passer à un autre objet, nous allons encore déduire quelques conséquences essentielles de l'équation différentielle du premier ordre à laquelle satisfait pu.
Et d'abord on peut écrire cette équation différentielle
p'*w = ip^u 4-4(^ï^3 -î-^3^1 -+• eiet)pu — /ieiCtei,
Remplaçons dans les deux membres pu ei p'u par leurs développements en séries donnés par les formules (IV3) et (IV4), que l'on peut écrire
p W = — 4- Cj W* H- Cj W* -h . . . -4- c,. W-''-' -h . . . ,
p'u= H-î2Cta-4-4C3W'H-...-h(2/' — 2) Cr M*'""' -+-...,
LA PONCTION t^U ^T LES FONCTIONS QUI EN DÉRIVENT. I75
en posant, pour abréger (IV5),
On aura alors
donc, en égalant, dans les deux membres de Téquation différentielle, les coefficients de — et les termes indépendants de u, on obtient les deux relations
— 8c, = 12c, -+-4(eiC3-h CsCï-HCiC,),
— 16C3 = laCs — 4«l^ï^3,
d'où Ton déduit
etCi-hezei-hetet = — 5c, =— ^ = — ^^ ^ Ji'
ce qui permet d'écrire l'équation différentielle sous la forme ( * ) (VU,) p'^u = 4p» w — gtpu — ^3.
100. En prenant les dérivées par rapport à e/ et en divisant par p'ii, on tire de celte équation
(VII7) ip'u =Iî2p*M — ^,.
(*) Comparez Ëisbnstein, loc, cit., p. 385. Les formules (5) et (6) sont identi<iaes à nos formules (VIIJ et (VII,). Kronecker a proposé récemment, pour honorer la mémoire d'Eisenstein, d'écrire en{u) au lieu de pu, le symbole en étant formé au moyen de la première et de la dernière lettre d'Eisenstein. Nous consenrerons la notation de M. Weierstrass, qui a fait connaître le r6le et la place de la fonction pu dans la théorie des fonctions elliptiques : cette notation, d'ailleurs, est aujourd'hui universellement adoptée.
En prenant les dérivées encore une fois, on a (Vils) p'"u = i'ipup'u,
et Ton peut continuer ainsi et obtenir, en tenant compte chaque fois des équations précédentes, les dérivées successives de pu en fonction de pw et de p'u. On aperçoit sans peine que ces fonctions sont rationnelles entières en p m et p'u ; on peut même montrer que les dérivées d'ordre pair de pu sont des fonctions rationnelles entières de pu seulement et que les dérivées d'ordre impair de pu sont égales au produit de p'u par une fonction rationnelle entière de pw seulement.
Ce résultat, en effet, se vérifie de suite sur les formules précédentes pour les dérivées seconde et troisième; il se démontre ensuite par induction, sans aucune difficulté.
101. L'équation (VII7) permet d'obtenir sans peine, par des calculs successifs, les coefficients C4, C3, ..., Cr, ... au moyen des deux coefficients
Cl — — y C3 = — .
En remplaçant, en effet, p" u etp^u par leurs développements en série, on trouve, après quelques réductions faciles, en égalant dans les deux membres les coefficients de m^'*"*, la relation
(r — 3)(2/'-i-i)c,. = 3 \^ CiCr-i' (r = 4, 5, 6, ...)•
On reconnaît en particulier que, comme on l'avait annoncé au commencement, tous ces coefficients sont des fonctions entières à coefficients rationnels de g^ et de g^ et que, par conséquent, toutes les sommes telles que
JTr'
où /• est un entier plus grand que 3, s'expriment par des fonctions entières, à coefficients rationnels, au moyen des sommes
I^orsqu'on se donne <i)«, Wj, ces deux dernières sommes, ou, ce (^vai revient au même, les quantités g^ et gz sont déterminées
ambiguïté.
eus monlrerons plus lard que, inversement, si l'on se donne 1^^ ^quantités g^ et ^3, telles toutefois que les racines ei, ^2, 63 de l"* écf nation
soient différentes, c'est-à-dire telles que le discriminant
ff = 1^ {g\ - 27^î ) = (^î- «3)' (^3 - e, y{e, - e,)>
^^ cette équation du troisième degré soit différent de zéro, il ^^■ste deux nombres Wi et (03 qui vérifient les équations (IV5)
^^ ^^Is que le coefficient de i dans le mpport — soit différent de
^^c> ^et même positif). La fonction pu^ formée avec ces quantités ^^^* > 2 CO3, satisfera manifestement à l'équation différentielle (Vile); ^^*e sera, dans le voisinage du point zéro, représentée par une ^^^î ^ de la forme
-- -h cj w* -4- Cs M* -h . . . -
c^ comme on vient de vérifier que les coefficients, Ca, C3, ...,
Cfi •.. sont entièrement déterminés par g^ et ^3, on voit que
c^s coefficients g2 et g% déterminent sans ambiguïté la fonction
p ^, bien que, à la vérité, les équations (IV5) admettent une infi-
fiité de solutions C0|, (O3.
Celte remarque justifie la notation
pour représenter la fonction ainsi déterminée. La fonction X^u est d'ailleurs entièrement déterminée dans les mêmes conditions, puisqu'on doit avoir, dans le voisinage du point zéro.
Y I Cj C3
T. et M. — I.
Enfin la fonction (iu est aussi déterminée sans ambiguïté parles conditions
^u du ^ * ^ ^ '
d'où l'on tire successivement
^ ^ 12 3o ' a'u = M — ■^*- u» — — m' ^^^ tt» -4- . . . ,
en sorte que Ton pourra employer les notations
|)0ur représenter sans ambiguïté ces fonctions.
102. Les équations d^homogénéité (III) prennent une forme un peu différente avec ces nouvelles notations. En effet, quand on multiplie 0), et (Os par a, les nombres gt et g^, en vertu de leurs définitions (IV5), sont multipliés respectivement par — > — : on aura donc
(I) cr(aw; g,g) = a3'(w; ^,,^3), (VIII) ](2) ç(aw; g,g)= lç(i/.;^-,,^3),
On observera que cette dernière relation se lit en quelque sorte sur Téquation différentielle
La fonction
doit en effet vérifier Téquation différentielle
Id(oLu)] 0L^\du/ ^^ «v . a6
OU
qui s'obtient en changeant dans (Vile) pu en a^o; ces deux fonctions doivent donc être identiques, puisque, dans le voisinage du point zéro, leurs développements suivant les puissances de u
doivent commencer tous deux par un terme en — •
103. La méthode précédemment exposée nous fournit le moyen d'avoir autant de termes que Ton veut dans les développements
de du^ X^u > pu 5 en séries entières en w, chacun de ces
termes étant exprimé en fonction entière de g 2 et de g^. Il est utile d'avoir les premiers termes de ces développements, dont on verra plus tard l'usage fréquent. Nous transcrivons ci-dessous ces premiers termes
(IX) (.) ç„=L 4îi^ 4îifL __4^+...,
On rappelle que les deux derniers développements ne sont convergents qu'aux environs du point zéro.
Le lecteur rapprochera naturellement ces formules des forroules (IV).
