III. — Représentation de s'a par un produit infini
à simple entrée.
104. Nous allons maintenant reprendre l'étude directe de la fonction du et chercher à transformer le produit infini à double entrée, qui définit du^ en produits infinis à simple entrée.
Supposons n différent de zéro et désignons par P„ le produit de tous les facteurs primaires de du pour lesquels n a la même valeur. Un de ces facteurs
l8o CALCUL DIFFÉRENTIEL.
OÙ 5 = 2m&)| -f- 2/i(i>3, est le produit des deux quantités
I — -je", e»**;
or les deux produits infinis que l'on obtient en prenant respectivement pour facteurs ces deux quantités, où m prend toutes les valeurs entières de — oo à -i-oo, sont évidemment convergents. Le premier produit
d'après la formule (1»), où l'on remplace u par et a par
est égal à
SmTT TtM „oï,
aWi — -COlTl '
/ia>3 sinTT
Le second est égal à une puissance de e dont l'exposant est
TÏ
^d I na)3\:
quantité qui, en raison de la formule (I3), est égale à
810? . ^ /iWg
On aura donc
Sin iw 20), (0, 8(|)î , ,nCO,
sinir
11 reste à effectuer le produit des facteurs primaires où n =1 o Ce produit
LA FONCTION O^f/ ET LES FONCTIONS QUI EN DÉRIVENT. l8l
est égal au produit des deux produits convergents
u smir
IX f \ innùil ] u
et
d'ailleurs (n«> 69)
donc
simz 7t«M«
Ainsi
-, 20)1 n --T . M "TT^ r>
<ïu= — -e^^ "i simr 1 1 P»,
11 2U)j iJL
où P/i est supposé remplacé par sa valeur établie plus haut. Celte formule, ayant été obtenue uniquement en j^roupant les facteurs du produit infini qui définit du, est valable quel que soit/^; le produit infini à simple entrée est absolument convergent et Ton peut en prendre la dérivée logarithmique. Comme la dérivée logarithmique de P^ est
Tt u — 'inUii TZ 71 0)3 TT* W I
COtir H COtTC -h ; y
20)1 20)1 20)1 0)1 âUii . . 710)3
* sin*7u
on aura, en désignant cette expression par Q/,,
Celle dernière formule aurait pu être déduite très aisément de la formule (Ha) en groupant ensemble les termes qui correspondent à une même valeur de n. On peut prendre la dérivée de la série
qui figure au second membre, terme par terme. Si donc on pose
dQn TU* T -ÏC' I
du 4^1 ' • w — 2/iu>8 4««>î . . ntoj * sin> Tt ^ * sin* -re ^
on aura
^ 12 eu? 4 «>7 • « <^ ^^
On parviendrait d'ailleurs à cette dernière formule par un groupement convenable des termes dans le second membre de l'équation (II3).
105. Ces formules se simplifient; cela résulte de ce que la série
iC) I
n sin*ir
est convergente, parce que le rapport — est imaginaire.
Si, en effet, a et 6 sont des nombres réels dont le dernier n'est pas nul, on a
sinfa -^ bi) = ; :
donc, puisque les valeurs absolues des quantités
sont
çia g-6
g—ia çb
le»
et que la valeur absolue d'une somme de deux termes est plus grande que la différence des valeurs absolues de ces termes,
I sin(a -t- 6/) I est supérieure à si b est positif, à
si b est négatif; on a donc toujours
I %\n{a-\-bi) \ >
Si donc on désigne par ^ la valeur absolue du coefficient de 1
dans
LA FONCTION C^a ET LBS FONCTIONS QUI EN DÉBITENT.
on aura
sin'ir
et, par conséquent, la série considérée est absolument convergente.
106. Ceci posé, considérons la valeur de du. Puisque P,, est le produit des deux quantités
î glO), 0),
nht* 1
sinTc
et que le produit infini
it««« I
SCO? ^ .,„.^îîa>.
est absolument convergent et n'a pas une valeur nulle, il faut que le produit infini
2/iaJs — u
() 2 0), —COITI— .
SinTT
/lb)3 0),
gt"!
soit lui-même convergent et égal à
Si d'ailleurs, dans ce produit infini, on groupe ensemble les termes pour lesquels n a des valeurs égales et de signes contraires et si l'on tient compte de Tidentité
suit: sini: = sin'ir sin'ir >
liùi 20)1 2(1)1 (1)1
l84 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
on voit qu'il prend la forme
"=* 1 sin'ir I
OÙ le caractère de convergence absolue est manifeste, puisque la série
est absolument convergente.
On a donc finalement
(Xi) s'a = c*^« — =• sin I I 1 i =- h
où l'on a posé, pour abréger,
ttI I t
ir* Fi ^ I ~]
Le lecteur rapprochera nalurellement la formule qu'on vient de trouver pour c^w de la formule d'Euler qui donne sinar sous forme de produit infini.
On aura de même
(Xj)Çw = -^ 1 col 1 > ]cot7: h cotTT >>
(til 20)1 20)1 2b)i .^^ ( 2U>j tUi )
Wl 4^1 Jmà . . W — 2/lU)3
* „ Slll*7r
Si, dans l'avant-dernière formule, on fait w = Wi , on trouve
ÇW, = 7)1,
en remarquant que, pour deux indices n égaux et de signes contraires, les termes sous le signe X sont alors égaux et de signes
LA FONCTION (^ U ET LES FONCTIONS QUI EN DÉRIVENT. l85
contraires. Ceci montre que la quantité tji, dédnie parla formule (X4), est bien la même que celle que l'on a définie plus haut par la formule (VI4).
107. On peut, dans les formules (X), échanger Wi et «03, ce qui reviendrait d'ailleurs à grouper, dans le produit infini ou les séries qui ont servi de définition primitive, les facteurs ou les termes pour lesquels m est le même; rit doit alors être remplacé par
2 0)3 I 6 ^ . . na>i I
Les formules (VI)) relatives aux changements que produit dans les fonctions (iu, ^u, pu l'addition de 2C0| ou 2CO3 à l'argument, ont été obtenues dans le n" 98 par une voie détournée; il importe de remarquer qu'elles se lisent en quelque sorte directement sur les formes (X) données à ces fonctions et sur celles qui s'en déduisent en changeant Wi en 0)3, en sorte qu'un groupement, d'ailleurs bien naturel, des facteurs primaires de c^w met en évidence ces propriétés fondamentales.
