Si, dans la formule (X2), on fait u = (o^, on trouve

T,3 = -ii— ^ H COt ? H A,

en posant, pour abréger,

A = > \ col (l — 2/1) -h COt 2/1 > ,

^d { 2(xii 20)1 )

= > J COt (H- 2/1) 4- COt (I — 2/i)>;

la seconde valeur de  s'obtient, en effet, en prenant la demisomme de la première et de celle qu'on en déduit en y changeant /i en — n.

On a d'ailleurs, comme on le voit en faisant la somme des n

l86 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

premiers termes dans la seconde expression,

A = lim cot (i H- in) — cot — ^ 1 •

n = ml '^Wi ^ 20), J

Or si, en désignant par a et 6 des nombres réels, on suppose

— ^ =i a-\- bi, on aura, h étant un entier positif,

çhal g—àb f ff—hai ghb

cotk(a-i- bi) = i—r— — tl . . ..>

^ ' £hat Q—nb g-àai ^Hb

et il est manifeste que, lorsque h augmente indéfiniment par valeurs positives, le second membre tend vers — i ou vers + ij selon que b est positif ou négatif; on a donc, suivant les cas,

A —zii i — cot

et, par suite, comme on Tavait annoncé (n® 92),

(Xe) 71,0)3 — 7150)1 =dz-i,

suivant que la partie réelle de ~ est positive ou négative.

109. Nous nous servirons de la formule (X3) pour vériGer directement l'identité démontrée déjà au n® 104

pO),-4-ptO,-hJ)0)8 --= O,

que l'on retrouvera encore plus tard par une autre voie. On trouve de suite

po),4-po)2-4-po)3

* I n cos'n

LA FONCTION <iU Kt LES FONCTIONS QUI EN DÉBIVENT. 187

Les deux dernières sommes prises ensemble donnent

« sin*(2/i-i- i) — ^cos*(2n -H r) — = n sin*(2n-+-r)

^ au)i ^ 2U)i 0)1

D'un autre côté, écrivons la formule (X4) sous la forme

ir« ri ^<'>

'" /iiùAï'^ 2à ., 110)3 M

si nous observons qu'on a, en séparant les termes où n est pair de ceux oCi n est impair,

iC) I m-«(')

n sin'n V sin'ïv v sin*(avH-i)

0)1 0)1 Oii

et que, à cause de Tidentité

ir '

sin*2v I sin'v cos'v

et de la convergence des séries employées, on a

ir-.^y" ■ -i-y ' 1,

4 1 .M . , 7rO)3 jé^ , 7ro)3 I

L wi oij J

V sin'2v

il vient, en remplaçant dans l'expression de \] 9 mul-

„ sin» n

tipliant par 4 et réunissant les deux séries à termes identiques,

n sm*/i „ cos*/i n sin*(2/H-i)

donc

ir' Fi v' I 4

\ i jâ^ , ^Ws 3 .^ . , . . iro)3 I

I n cos*n — ^ n sin*(2n-i-i) — '\

En substituant cette valeur de tji dans l'expression trouvée plus haut pour pcoi + p(i>2 + p(i>3, on voit de suite que celte somme est nulle.