IV. — Les cofonctions cCiu, o

110. A la fonction <iu^ il convient, pour la commodité des notationsy d^adjoindre trois autres fonctions diU, (^2^^ <izU qui jouent, par rapport à du^ le rôle que le cosinus joue par rapport au sinus.

En désignant par a Tun quelconque des trois nombres i, 2, 3, nous poserons {*)

(XIi) craw= — = — .

Ces fonctions sont définies de manière que toutes trois se réduisent à 1 pour £/ = o. Elles sont toutes trois des fonctions paires; les égalités

qui mettent ce fait en évidence, résultent immédiatement des

(*) Dans ses recherches fondamentales sur les fonctions elliptiques, M. Hermite a désigné des fonctions admettant les mêmes zéros que les trois cofonctions (T^Uf en affectant d'un indice double la fonction qu'il considère. Cette notation, qui offre, elle aussi, de grands avantages, a été appliquée par M. Klein à la fonction cru {Abhandlungen der koniglichen sàchsischen Gesellsctiaft der Wissenschaften, t. XIII; i885). Voyez aussi les Vorlesungen ûber die Théorie der elliptischen Modulfunctionen du même auteur. Il convient de prévenir le lecteur qui voudra lire les beaux travaux de M.Klein que les quantités qu'il désigne par ci>,, <!),, \y T^j sont celles que nous désignons par 2ii>,, aii>,, 27^,, 2T^^.

On passe des fonctions ^^u^ c^, </« ^^^Uy r^^u de M. Klein aux fonctions ru, a-, M, r,!!, r^u de M. Weierstrass à l'aide des relations

^oo(") o^oïC") o'„(w) o',o(")

inversement, dans nos notations, on a, en désignant par X, (x, soit o, soit 1,

0*^ j^(a) = e ^ ^ ^(a — Ato,— jjLto,).

Dans son excellent Ouvrage, Elliptische Funktionen und algebraische Zahlen, M. Weber conserve la notation ru et adopte des notations à double indicé pour les trois cofonctions de M. Weierstrass elles-mêmes. Ses trois fonctions

sont les trois fonctions c^u, a'^Uj (f^u prises dans le même ordre.

égaillés

en y remplaçant u par u — (Oqj et en se rappelant que la fonction <iu est impaire.

Les dérivées logarithmiques de ces trois fonctions, que nous désignerons par Ça(w)i sont des fonctions impaires et s'annulent pour M = o. Elles peuvent être définies par les formules

(XI,) ÇaW = Ç(w-HWa) — r^a (a = 1,2, 3).

Les dérivées des fonctions ^^(u), changées de signe, ne sont autre chose que les fonctions

p(w-H toa).

On montrera tout à l'heure que p{u -h Wa) s'exprime rationnellement au moyen de pu.

111. Nous allons d'abord, par quelques exemples, montrer l'utilité de ces notations.

Envisageons, par exemple, l'expression trouvée pourrf(2w) au n®98. Elle pourra s'écrire maintenant

(XIs) a'(2a) = 2 a'wa'iMO'jaa'aW.

De même, l'expression obtenue dans le même n° 98 pour p^ u peut, en tenant compte des égalités

ei-{-ei-r-ei = o, t1i-+- r^î-h r^s = o,

s'écrire

(XI3 bis) p'a = — 2-— - — - — — =— — — •

De même encore, la relation (VII|), pour a = o>ot, pourra s'écrire maintenant

/Vf \ ^î"

(XU) P"""^a=5rii'

et nous pourrons, à l'aide de cette relation, séparer nettement les deux racines carrées de pu — e^ et, par suite, les racines carrées des six différences des nombres e^, e^t ^3, ce qui nous sera bientôt très utile.

igO CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Nous conviendrons de désigner par

la fonction univoque de u

En faisant w = cop dans la formule

(XI.) v^pu-eoc = ^^

on a donc aussi

(XI5) /<?p - ea = -~r- - •

Au moyen des relations (IV), nous pouvons trouver maintenant autant de termes que nous voudrons dans le développement des fonctions <i^u en séries entières en w. En extrayant la racine carrée de pw — e», de manière que la fonction d^^u donnée par la formule

soit égale à + i pour u = o, on aura facilement

mais on n'aperçoit pas, par cette méthode, la loi de formation des coefficients.

112. Nous allons maintenant développer pour les trois cofonctions des formules analogues à celles que nous avons déjà obtenues pour la fonction rfw. Ces formules résultent immédiatement des définitions, des formules (VI 1 .4), (VII3), (VII4), (XI|) et (XI2). Pour simplifier l'écriture, nous ferons, une fois pour toutes, la convention suivante :

Les trois indices a, p, y désigneront toujours les trois nombres entiers 1 , 2, 3, pris dans un ordre quelconque, de sorte que l'un des trois indices a, p, y soit i, que l'autre soit 2 et que celui qui reste soit 3. Quand, dans une formule, figureront deux seulement des trois indices a, j3, y, on pourra donner à chacun de ces

deux indices l'une quelconque des valeurs i, 2, 3, pourvu qu'on ne leur donne pas la même valeur. Enfin quand, dans une formule, ne figurera qu'un seul des trois indices a, p, y, il sera entendu que cet indice pourra prendre l'une quelconque des trois valeurs i, 2, 3.

Ceci posé, voîci les formules annoncées, où les signes supérieurs se correspondent ainsi que les signes inférieurs :

(XII,) ^ (ft^r

ct'a( a -^ 2 Wflt) = — e«TQaî«*+(o«) cf^^ u ^ (XIIj) y cs'(m -H 2/na>aH- 2/îo)p-h SirtOy)

= ( — lyir+rm+nin-^m gJ(inrja-4-/iY)3+r/;^) (M+ma)«-t-/ia)^+ra)y) a*-, a; 3* ( ttd=a)a) = ii=e*^««a' topera w,

(Alla) \ s'ioa ^ CtOfli '

o'aCM ^ wp)=— 3^ e^^ji^-^aW^CyM = c=*^?"(3'aa)p(3'yw.

(XIU) I Ça(w-^^Wa)^ ÇaW-^-2>la.

(XII,) { Ça(tt±:a)a):^Ça ±: r,a, Ça(Miha)p) = Çya=br^p;

e^îaWa = O'QtOaO'y tOa, (Xlle) / O'^Wv ^{Ùy

Les formules (XII| ) se déduisent de la définition des fonctions <^fltW (XI|) en supposant u = w»» a = wp et en se rappelant que (^(acoa) est nul, que (Oy est égal à — (o» — wp. Parmi les formules (XII2), la première résulte des formules (VI| ); la deuxième et la troisième s'obtiennent en remplaçant dans les formules (XI|)

igS CALCUL DIFFÉRENTIEL.

u par e/ -f- a (i>a ou w -|- 2 wp et en réduisant au moyen des formules (VIj ); la quatrième se déduit de la formule (VI2) en y remplaçant u par w-|-2r(02 et en réduisant au moyen de la formule (Xe) qui montre que chacune des quantités Tj^cop — f\^^aL

est égale à li: — . En changeant dans la quatrième formule (XIIo)

u en u -{- o>a, on obtient aisément la cinquième. La première formule (XII3) ne diffère pas de la définition des fonctions ^fltw; les premières expressions de (^«(w-H-cua), c^aC'^-H^p) s'en déduisent en changeant u en u -h co^, u + cop et réduisant au moyen de la première formule (XII2); en changeant ensuite // en — u, on obtient les expressions analogues pour rfa(w — **>a)i ^a(w — wp)' La seconde expression de (^«(wilKop) se déduit de la première en tenant compte de la seconde formule (XIIj); en remplaçant, dans cette seconde expression de rfa (m — (op), wpar cop, on obtient une équation qui ne diffère que par les notations de la première formule (Xlle), laquelle permet de ramener la première des expressions de <ia.(u± lo^) à la seconde. Les autres formules (Xlle) s'obtiennent en remplaçant u respectivement par co^ et o>a dans les expressions de a'(w + (Oa), (^a(w + ^p)-

113. Remarquons encore que, si nous remplaçons dans l'expression -u— y obtenue dans le numéro précédent pour ^e^ — ep, o'pcOûi par sa valeur tirée de (X1I|), on obtient la relation

a'wv

(XIIIi) \/e^ — ^R = — e"T^?^a

o'WaO'top

Si l'on compare cette formule à celle qu'on en déduit en échan géant les indices , on a de suite la relation

/^p - eoL D'ailleurs, à cause des formules

on a

Là fonction <iU et les fonctions qui en DàRIYENT. IqS

et chacune de ces quantités est égale k ± —

Dans le cas où le coefficient de i dans — est positif , on a

(XIII,) T,3U),--r,ja)3 = r<,to,— r,,io, = r,,(Oi — t,, w, = --

et, par conséquent,

/ei — ez = i v/ej — ei ,

Dans des applications très fréquentes, Ci, ^a, es sont des nombres

réels tels que Ton ait

aussi convient-il d'écrire les relations précédentes sous la forme

(XflU) < y/gj— ei =— iV^i— ^3,

' /ei — ^1 = «V^i — ^2-

Si le coedicient de i dans — ? était négatif, on devrait changer / en — I.

l\i. Si maintenant, dans la formule (XT^), on change u en fi -h o)a, on a

or, en vertu des relations (XII3) et (XI»), le second membre peut s'écrire

cr«Wa3'*a)3i s'a""" P^^ — ^ol '

on a donc

(XIII,) p(w-i-Wa) = ^aH ^

pa — ea

formule qui est d'un usage fréquent dans les applications et qui pourrait se déduire aussi facilement du théorème d'addition relatif à la fonction pu.

T. et M. — I. i3

igi CALCUL DIFFÉRENTIEL.

lis. Les relations (XI4) mettent en évidence des relations algébriques entre les fonctions a*?/, d^u, d^u^ dzU\ en effet, en éliminant pu entre ces relations, on trouve

(XIVi) 3'îa--a'^tt = (e^ — ea)3'*M;

parmi les relations de cette espèce, il j en a évidemment deux d'indépendantes.

Signalons, comme conséquence de ces formules, la relation

(XIV,) (^y — eo) 3'Jm -h (Ca — ^r) ^5" -^ (^B — ^a) 3'2a = o.

116. Au mojen de ces mêmes relations (XI4), la formule fondamentale (VII,) peut s'écrire

<^{u -\- a)(^{u — a) ^\a t^lu

(XVi) 3'{m-+- a):^{u — a) = lî^u^la — 3'îw3'«a.

Si, dans cette dernière formule, on change a en a + w^ et si l'on tient compte des formules (XII3) et (XIo), on trouve

(XV,) 3'a(M -•- «) 3'a(M — a) = sjws'aa — (e^— e^){ey^— e^)(r^u^*a:

de même, en changeant u en u -f- wp, puis échangeant les indices a et ^, on trouve

(XV3) 3'ai(w-+-a)3'a(w— a) = s'îws'^a — (e»— e^)(fia(f^u.

Au reste, Fidcnlité entre les deux seconds membres des deux dernières formules résulte aisément des relations entre les quatre fonctions ^, relations qui permettraient d'ailleurs de transformer de diverses manières les formules précédentes.

Nous joindrons de suite à ces formules d'autres analogues qui donnent les expressions des produits cJ'(a H- a) a'a(w — a) (^^{u-h a) <i^{u — a) relatifs à deux fonctions d d'indices différents.

Observons d'abord que, de la formule (VII2), on peut déduire d'autres identités analogues où figurent les cofonctions, en ajoutant, par exemple, aux quantités //, ût, 6, c quelqu'une des

LÀ FONCTION ^U Bt LES FONCTIONS QUI EN DÉRIVENT. igS

quantités (0|, tù2y CO3; nous nous contenterons d*écrire les deax suivantes :

a'a(w-+-a)a' (a — a) a'ot(6 -+- c)ct'(6 — c) 3'a(wH- ô)ct' (a — ô)ct'flt(c4-o)a'(c — a) 3'a(a-+- 0)0* (a — c)o'a(a-+- 6)ct'(a — ô) = 0,

ct'Y(M-4-a)ct'û(a — a)ct'(x(ô-4- c) ^(ô-- c) 3'y(t*-f- 6) a'Q(a — b) (fai^ -4- a)ct'(c— a) -+- Cy(a -h c ) a'o(a — c) a'a(a -i- b) a'(a — ô) = o,

dont la première résulte simplement de la formule (VII2) en augmentant toutes les quantités u, a, b^ c de —7 et dont la seconde

résulte de la première en y remplaçant 11 par w + top; après avoir fait ces changements, on n'a plus qu'à réduire au moyen des formules (XII3).

Siy maintenant, dans les relations qu'on vient d'obtenir, on suppose c = o, b = (op, on trouve de suite, toujours au moyen des formules (XII3) et après avoir divisé par c^a^p ^^p?

fXV4) a'a(a H- a)(f(u — a) = s'ao'attO'Qa c'ya — cfa(^aL^<^^f^^y^i

3'y(a -+- a)ct'û(a — a) = ^yU^ou^ya(foa'¥--^ — ^^w s'a a s'a s'a a;

cette dernière relation, si l'on tient compte de la formule (XIo), s*ëcrit définitivement

( XVj) a'v(M-+-«) (fû{u^a) = s'y Wjû M s'y a s'a a -h (eo — Cy) 3' a s'a m s'a s'a a.

^n obtient encore deux nouvelles formules, que nous nous dispensons d'écrire, en changeant dans (XV4) et (XV5) a en — a,

117. Nous allons maintenant déduire de la formule (XV3) l'expression de p- et, en particulier, de p — qui nous sera bientôt

utile. Ed y remplaçant a par w, puis u par - > on trouve

en changeaDt a en ^, il vient

a'pa = o'î-a'5^-H(ea-ep)a'«-a'î-;

(i^où, en ajoutant et en retrancbant,

Sans nous arrêter à ce fait, que ces formules mettent en évidence les valeurs de u qui annulent a*»'' -f- ^pw> <^a" — ^p^? changeons dans la première ^ en y et divisons membre à membre; il viendra

Ca W -h s'y W » U

00 — CTv —

ou encore, en vertu des formules (XI 5),

/pw — «a -^ v/j~« — t'y p - — ey [l'oii

— j)-[v/pw — ep — v^pw — ey] = (e^ — ey)v/jj// — e.

— €y y/p « — cq -+- eu /j) a — ey :

en multipliant par ^pu — ep-r-y'p^/ — e^ et tenant compte de l'identité

[y/pM — ep-t-Zp?/ — ej [v/pw — t'i — /ptf — ej =ey— cp, on trouve, après quelques réductions faciles et après avoir divisé

LÀ FONCTION <iu ET LES FONCTIONS QUI EN DÉRIVENT. J97

par ep — (?y,

( XVIi) p - = pu-^ ^pu — ea^pu — e^f

et, en particulier, en supposant u = cogt,

(XVI,) P -^ = ea-+- V^^a— «p V^É^a— «r-

Il iaiporte de remarquer que, dans ces formules, les radicaux ont le sens précis qui a été spécifié dans le n^ 112.

118. On obtient immédiatement les expressions de 0*4 e/, (i-iU^ fil u, décomposées en facteurs primaires, en partant de leurs définilions (XI|) et en utilisant la formule (V|). On trouve ainsi

Cette formule met en évidence les zéros des trois fonctions 0*1 //,

En groupant les facteurs exactement comme on l'a fait pour (S*// et en effectuant des réductions toutes pareilles à celles que Ton a rencontrées alors, on obtient successivement quelques identités intéressantes. Soit d'abord a=i. On remplacera partout, dans

le second membre de l'équation précédente, par

\2 tO,/

alors, en appliquant les formules (l3 4), on trouvera, pour le produit des facteurs où n reste le même.

Les deux facteurs mis entre crochets donnent naissance à des

produits infinis convergents dont le premier peut, en groupant les termes où n a des valeurs égales et de signes contraires, et en tenant compte de Tidentité

cos(a — b) cos(a -t- 6) = cos'a — sin'6, s'écrire

d'ailleurs la valeur du second s'écrit immédiatement; on a donc finalement

M» 'sw'î ( *"*"' 2 ,^«a>, ) «=- r sin«-^ I (ïiu.e^ = cos e ^ 'III i — I*

On a de même, pour a = 2 et a = 3,

M.L \ . un — I wi I

XX I . . 2n — I (Uj I „=i I sin«ir — I

En remplaçant, dans les trois formules que nous venons d'établir, u par w-|-2(0| par exemple, en tenant compte des formules (XII2) et en comparant les nouvelles formules aux anciennes, on obtient les trois identités

r^i-hwipw, = - — / n-2 > If

n = I COS'tT ■

(XVII,) { Tii-4-u),pù), = -^ y

\ 2Cui ^mâ

Tr« v^ I

„=i sin*7r — - — 7-

igS CALCUL DIFFÉRENTIEL.

produits infinis convergents dont le premier peut, en groupant les termes où n a des valeurs égales et de signes contraires, et en tenant compte de Tidentité

cos(a — b) cos(a -t- ô) = cos'a — sîn'ô, s'écrire

"=* I sin' I

cos — Il I 1 ^ I;

2(0| M.JL I . 7rn(i>3 I

d'ailleurs la valeur du second s'écrit immédiatement; on a donc finalement

On a de même, pour a = a et a = 3,

n=i I cos«7r I

L 2 COi J

w« — T z. «In-'n — s « = • I sinl I

ir* / v^ I

rt = i cos'tt ■

(XVII,) / t)iH-0),po),= ^ 2

20)1 .Ai^ « 2/t — I 0)s

n = l COS'tC

IT* V^ I Îll-+-0)ip0>j = > ,

*^ 2Wi .^^ . . 2n — I o>s

„=i sin«ir — - — --

qui permettent d'écrire comme il suit les trois formules obtenues

Tj,M« "=- r sin« ^^ I