XVII

tf,« = e^TT . ^-^

(5) a'sa =

sin»

sin«7r

En développant les seconds membres de ces dernières relations suivant les puissances de u^ on obtiendra autant de termes que l'on voudra dans le développement en séries entières en u, des fonctions paires d^u^ sans apercevoir toutefois la loi de formation des coefficients. Si l'on tient compte des trois identités précédentes, on verra par exemple, sans peine, que le coefficient de u^

est égal à -t de sorte que

J'ai a =1 ea a' -+-... .

On retombe ainsi, par une autre voie, sur le développement (XI7) déjà obtenu au n^ 111.

119. Nous réunirons ici quelques remarques relatives à l'homogénéité, qui nous seront utiles plus tard.

Imaginons que l'on forme d'abord les fonctions d, Ç, p et les constantes 7|g(, e» qui en dépendent, au moyen des quantités (0|, ci>3, puis que l'on forme les fonctions et constantes analogues au moyen des quantités

(XVIIIi) * a)i=Xu>i, (03 = X(i)s, to j = — (o'j — u)J

et désignons par vj,, e^ les quantités analogues à Tja, 6^ relatives aux nouvelles fonctions. Cherchons comment les nouvelles fonctions et les nouvelles constantes s'expriment au moyen des anciennes.

Les équations d'homogénéité (III) peuvent s'écrire (XVIU,) j C(tt|a>;,coi)= i t(^|<*>t,W3)i

En faisant ;/ = o)', , u = co, et en se reportant aux définitions des quantités

^i> 'J3' ^1 — 'il wa» ^i> ^s» ^1 — ^1 ^j»

on en conclut les relations