I -hai-hajPi-t-.. .-ha„Pn i-i

ne peut être convergente que si la série

ai -+- «î -4- . . . -+- fl/j -+- . . .

est elle-même convergente. Réciproquement, si cette dernière série est convergente, P/i tend vers une limite quand n augmente indéfiniment.

En effet, lorsque n augmente, P^ ne peut qu'augmenter; afin de prouver que \?n a une limite pour n infini, il suffit donc de prouver que P,| reste toujours inférieur à un nombre fixe. Or imaginons qu'on développe le produit

(i-f-ai)(i4-aî)...(i-+-a«) et qu'on l'écrive

I -H cïi -f- cïî -+- . . . -4- a/t -h «1 «1 4- . . . 4- ai aj . . . a^'t

en posant

A/j = ai -h aj -f- . . . -+- a/i

et en désignant par A la somme dp la série convergente

a 1 -f- a j -t- . . . -h an -h . . . ,

on voit de suite que l'on a

P«< I -+- ^ -H ^ -+-. . .4- ^^ < eA«< e\ 1 1.2 1 . 2 . . . /i

et la proposition est ainsi démontrée. Il est à peine utile de dire que la série équivalente au produit infini, dans laquelle la somme des n H- i premiers termes est égale à P«, est alors convergente.

Ainsi, lorsque les nombres a\^ a^j • ^ j cinj > *• sont positifs ou nuls, la condition nécessaire et suffisante pour que

ait une limite pour n infini est que la série

ai -+- aj 4- . . . -h a/, -T- . . .

soit convergente. S'il en est ainsi, cette limite, qui est la valeur du produit infini

(iH- ai) (i 4- a,) . . . (i -4- a,i) . . . , se représente par le symbole

n:=ae

4. En supposant qu'on se trouve dans les conditions précédentes, nous allons démontrer que la valeur du produit infini est indépendante de l'ordre de ses facteurs.

Supposons, en efl^et, que, en rangeant d'une façon quelconque les termes (tous positifs) de la suite

on obtienne la suite

^i> ^îi • • • » ^«1 • • • I et soit

Le produit d'autant de facteurs que l'on voudra pris, chacun une fois, parmi les nombres i -f- a« ou i + 6;,, est inférieur à P; donc le produit infini dont le /i'*"* facteur est i -j- bn est convergent et sa valeur est au plus égale à P. D'autre part, si l'on choisit arbitrairement un nombre Q plus petit que P, on peut déterminer un

entier positif h tel que le produit

(i -+- ai ) (i -+- a,) . . . (1-4- an) soit plus grand que Q ; si la suite

contient tous les termes de la suite

le produit

(rH-6i)(i-f-6,)...(i-+-ô;t)

dépassera Q; donc la valeur du produit infini

(1 -H ^l)(l-l- 62)...(H- bn)' . .

dépasse Q : elle est donc égale à P.

5. Supposons maintenant que ai, a2) --•} ctni ••• soient des nombres quelconques, réels ou imaginaires : nous dirons que le

produit infini

(i + ai)(i-+-aî)" .(i-Han).--

est absolument convergent, si la série

fli -h aj -+- . . . -H a„ -+- . . .

est absolument convergente.

Nous allons montrer que le produit P/i des n premiers facteurs d*un produit infini absolument convergent tend vers une limite quand n augmente indéfiniment. Cette limite, qui est la valeur du produit infini, se représente encore par le symbole

JX («-+-«/. )•

Nous montrerons, en outre, que cette valeur ne dépend pas de Tordre des facteurs et qu'elle ne peut être nulle que si l'un des facteurs est nul. Nous emploierons d'ailleurs, pour les produits infinis comme pour les séries, les mêmes expressions incorrectes (n**!) consacrées par l'usage.

6. Faisons d'abord la remarque suivante : Si, dans un polynôme entier en a^, a2, • . • ^ cin^ à coefficients réels et positifs, on remplace a^ a^, .., ^ an par leurs valeurs absolues, on obtiendra la somme des valeurs absolues des termes de ce polynôme, et cette somme sera supérieure ou égale à la valeur absolue du polynôme. Or le polynôme

I -h ai -+- aj -+- . . , -+- «n -f- ai ai -H . . , -4- «i «j . . . «/t ,

que Ton obtient en effectuant le développement de P/i, a ses coefficients positifs : de même, si m désigne un entier plus grand que n, on voit de suite que le développe;nent effectué de Pm contient, outre les termes qui figurent dans Pn, d'autres termes à coefficients positifs; il en résulte que, si Ton regarde P^ — P/i comme un polynôme développé et réduit, les coefficients de ce polynôme seront positifs. De là résultent les conséquences suivantes :

Si l'on désigne en général par P^ le résultat obtenu en remplaçant, dans P;,} <^i) ^2» •••) Ofi psii* leurs valeurs absolues, on aura

P;^|Pii|, Pm-P«è|Pm-P«| (/n>/i);

il esta peine utile de dire que F^ — P'^ est positif ou nul. Des inégalités analogues ont évidemment lieu, si l'on considère, à la place de Pm^ Pw, des produits formés avec un nombre fini de facteurs pris dans le produit infini, mais qui ne sont pas les premiers facteurs de ce produit, pourvu que la première expression contienne tous les facteurs qui figurent dans la seconde.

Ceci posé, puisqu'on suppose convergente la série à termes positifs ou nuls

It^oe

le produit infini, à termes positifs ou nuls,

n^ao