XVIII, 6«) ^''« = ¥' '»=S

Si maintenan-t on se reporte à la formule qui définit (i^(ii\îii\^iù^^ savoir

3'( a -4- to^ I to; , to; ) = e"^'*" a'(to; | to; , to'j) s'oie a I w;, to'j),

on en conclut, à cause des relations précédentes et en particulier de la relation d'homogénéité pour Ja fonction d*,

= e '^ 3'( toa I (0,, loj) 3'a( a I cd; , w',),

et, par suite, en comparant à la formule qui définit <3'a(w|a)|, to,), (XVlIIs) 3'a(a|to;,toi)= S'a ^^L),,W3J;

mais on a (XIq)

donc

ce qui s'accorde d'ailleurs avec les résultais antérieurs.

Ainsi les quantités rja, \Je^ — e^ sont des fonctions homogènes

de a>i, t«>3 et du degré — i ; le rapport de deux de ces quanlités ne dépend que de -•

'ftSO. Nous terminerons ce paragraphe en disant quelques mots d'i»n cas particulier, très important d^ailleurs, de façon à permettre au lecteur, au moins dans ce cas, de se représenter l'en- ^^^^■^We des résultats acquis d'une façon moins abstraite.

Supposons a)| et -^ réels et positifs. Si l'on suppose en outre

que la variable u soit réelle, on voit que la fonction ^u est réelle. ^la résulte aisément de la première défînition de d'w, en groupant ensemble les facteurs pour lesquels les valeurs de s sont conjuguées, c'est-à-dire sont égales à

2 m (lii H- 2/10)3 et 2/n(Ui — 2^0)3;

" ailleurs la chose apparaît nettement sur la formule (X| ); la for- ^^le {%%) montre que r^ est alors réel et positif. Les fonctions SM, pu sont aussi des fonctions réelles; les invariants ^2 ^^ ffi

sont réels ^ 4Î est réel et négatif (X5); ^, = pw,, ^3 = ^0)3 sont

des quantités réelles, puisque pu est une fonction paire; 62 est donc aussi réelle; les formules (XVII) montrent que les fonctions 5*2 2/ sont aussi des fonctions réelles.

Examinons maintenant le signe des fonctions (3* dans la même hvpothèse.

Quand u croît h partir de zéro, du augmente d'abord, puisque ^(o) =: I ; cette fonction commence par être positive et reste positive tant que u n'a pas atteint le premier zéro 2(0| de du; ce zéro est simple : donc, si u continue de grandir, du change de signe. Dans l'intervalle (o, awi), du est positive 5 dans l'intervalle (20),, 4^1)1 ^'' est négative, et ainsi de suite. Pour w = o, la fonction d^ u est égale à un; elle reste positive jusqu'à ce que u atteigne la valeur o), , puis elle est négative dans l'intervalle (ci>i, 3(i>|), etc. Les fonctions d2U^ d^u, qui sont égales à 1 pour u = o, restent positives pour toutes les valeurs réelles de ;/, puisque leurs zéros sont imaginaires.

Considérons de même les valeurs purement imaginaires uz=iu'

202 CALCUL DIFPÉRBNTIEL.

de l'argument; la fonction — ^ est réelle, et l'on voit de même qu'elle est positive quand u' est compris dans l'intervalle (o,— ^j»

négative quand u! est compris dans l'intervalle (— --> — -)> etc.

Pour ces mêmes valeurs, les fonctions paires dg^u sont réelles; si ul est positif et voisin de zéro, les trois fonctions sont positives; c^i {/et (^2^1 n'ayant pas de zéros qui soient purement imaginaires, restent toujours positives; au contraire, (i^u admet comme zéros purement imaginaires les multiples impairs de 0)3 , en sorte que

cette fonction est positive quand w' est compris entre zéro et --.'> négative quand u' est compris entre ~ et 3 -'> etc.