Si Ton se reporte aux formules (Xle

I o'stoj / cTttOt / CjWs

V^ei — ^3 = -- — , v^i — c, = — ~-, v^ej— ei=-— — f a^tO| <j(Ui awj

on voit par ce qui précède que \Jex — 63, sje^ — e^ sont des quantités réelles et positives; au contraire, y/es — e^ est une imaginaire pure et i^e^ — ea est une quantité positive, puisque (3*2 Ws est positif ainsi que —7-^; y/ea — ^8, qui est égal à — isje^ — ^2 (XIII4),

est donc un nombre négatif. On déduit de là d'abord que les quantités réelles ej, ^2, e^ sont rangées par ordre de grandeur décroissante; leur somme étant nulle, la première est positive, la dernière négative. Enfin, des trois radicaux à valeur réelle

les deux premiers ont la signification arithmétique, tandis que le troisième est négatif {^),

(*) C'est là riDcoDvéDient du système de notations que nous avons adopté et sur lequel nous nous sommes expliqués dans la Préface. M. Weierstrass, suivi en cela par M. Schwarz, au lieu des quantités u^ (1),^ b),, avait introduit les quantités fa), fa)', &)"= b) + fa)'; on fait coïncider les deux notations en supposant fa) = (i>,, fa)'= fa),, fa)''=— fa)j, puis T, = 7i,, 7i'= Tj,, T,'' = — T,j. Daus les Formeln und Lehr-

sàtze de M. Schwarz, v^^ë"^-^ et y/e, — e, représentent les quantités que nous désignons par les mêmes symboles, changées de signe.

LA FOHGTION (i U ET LES FONCTIONS QUI EN DÉBITENT. 2o3

12S. Considérons maintenant la fonction pu. Si u est réel et un peu plus grand que zéro, pu sl des valeurs positives très grandes, puisque, dans les environs de u = Oj la différence

pu reste finie. Reportons-nous aux formules (XI),

p U = — 2 ^^^ = — 2Vpa — Cl v/pw — e, /pM — c,;

on voit que, dans l'intervalle (o, Wi), pi u est négatif; pu décroît donc de +qo à ei ; si a continue de croître, c^i {/change de signe, et, dans rintervalle (a)|, 2a>i), pu croît de ei à + QO ; ensuite, à cause de la périodicité, pu reprend les mêmes valeurs. Ainsi, pour des valeurs réelles de a, la fonction pu reste supérieure à ei, e^^ es, ce que, d'ailleurs, la formule (XI4) met en évidence.

Envisageons aussi les valeurs iu! purement imaginaires de Targument u\ la fonction paire pu est réelle pour ces valeurs; pour de petites valeurs de a', elle a des valeurs négatives très grandes. La dérivée de p{iu') par rapport à u' est d'ailleurs

.,,.,, . 3*1 m' 0*1 iu! c'a iu'

ip{lU) = — 2i —r^-; ,

en désignant par p'{iu') ce que devient p' u quand on y remplace u par iu' \ quand u' est compris entre o et -^> les trois fonctions

(ïi(iu')j (^^{iu')^ di(iu^ sont positives, ainsi que -^. — -; par

suite, — ; — - est négative, donc la dérivée ip'{iu') de p{iu') par

rapport à u' reste positive; donc, quand u' croît de o à ~> p{^^')

croît de — 00 à e^- Lorsque u' traverse la valeur -.-> d^^iu) s'an-

nule et change de signe : donc, lorsque u' croît de -r^ à 2 ~ , p(i^^')

décroît de 63 à —^ 00 . La fonction reprend ensuite périodiquement les mêmes valeurs.

On a d'ailleurs (VIl4 5)

[ip'(iV)]«=-4[p(*V)-et][p(»V)-e,][p(iV)-e,] et, par suite, lorsque u' est compris entre o et ~>

ip'(iu') = ^p(iV) = 2V^[ei — p(m')Jle,-p(tV)J[e8 — p(iV)],

en altribiiant au radical le sens arilhmétîque, puisque le premier membre doit élre positif.

Il résulte de cette analyse que Ton a

les radicaux étant pris avec le sens arithmétique.

On a donc exprimé, dans ce cas particulier, (i>i, cos au moyen de g^'i ^3 ; on a résolu en quelque sorte, par rapport à a)|, 0)3, les équations (IV5); mais il reste évidemment à résoudre la question suivante, qui se pose d'elle-même.

Étant données (*) les quantités réelles ^2, ^3, telles que l'équation

47^—^17 — ir8 = o

ait ses racines réelles, désignons ces racines, rangées par ordre de grandeur décroissante, par ei, ^2, e^\ déterminons les quantités (i>|, (i>3 par les formules précédentes; aura-t-on eflectivement

^5=:6o2 fv' ^J=i4o2i ^?

C'est là en effet ce qui a lieu. Quoiqu'il ne soit pas difficile de le démontrer, nous renvoyons cette démonstration à plus tard, afin de pouvoir réunir ce qui concerne les différents cas.

Observons enfin, en restant toujours dans le même cas, et relativement à la fonction pe/, que, à cause de la relation (VII|), qui montre que l'on a, a et 6 étant réels,

p(a — 01) — p(a -h oi)= —- r-' — rr r-r- >

la quantité p{a -f- bi) ne peut être réelle que si le facteur (^2bi est nul; ceci ne peut avoir lieu que si b est un multiple de -^> et, s'il en est ainsi, p(a H- bi) est en effet une quantité réelle.

(') Jusqu'ici, u. et tù^ étaient les quantités données.

LA PONCTION <^U ET LES FONCTIONS QUI EN DÉRIVENT. 2o5

V. ^ Transformation linéaire des fonctions (f. — Substitution aux périodes primitives de périodes équivalentes.

123. On a vu déjà, sur de nombreux exemples, le parti que l'on peut tirer de l'application à la fonction c^a de ce théorème : dans un produit infini, absolument convergent, on peut intervertir l'ordre des facteurs et grouper ces facteurs comme l'on veut; c'est là le grand avantage des notations de M. Weierstrass sur celles d'Eisenstein. D'autres conséquences essentielles de cette proposition vont apparaître dans ce qui suit; elles se rapportent aux éléments de la théorie de la transformation.

Nous avons montré comment on pouvait construire une fonction (iu au moyen d'un couple de deux nombres à rapport imaginaire 2(i>i, 2(1)3 et engendrer, au moyen de cette fonction, une fonction doublement périodique admettant 2(i}|, 20)3 pour périodes primitives; nous allons montrer (n° 125) comment il existe une infinité dénombres 2û|, 2123, liés simplement à 2a)|, 2(03, au moyen desquels on peut engendrer les mêmes fonctions c^u, Ç«/, pu.

Mais voici d'abord quelques remarques et définitions qui vont nous servir à caractériser ces nombres 2Û4, 2Û3.

Soit, en général, F(w) une fonction univoque doublement périodique et admettant 2(1)1, 2(03 pour couple primitif de périodes.

Posons

(XIX|) ûi = atoi-h ôtoj, Û3 = cioi-h c?ti)3,

en désignant par a, 6, c, d des entiers tels que le déterminant (0 = ad — bc ne soit pas nul. On observera d'abord que, dans le

rapport — ^> le coefficient de i est différent de zéro et qu'il a le

même signe que dans le rapport — > ou le signe contraire, suivant que ad — bc est positif ou négatif. Si l'on suppose, en effet,

a, p, A, B étant réel?, on a

(arf— 6c)3

(aH-6a)«-i-6»3«

2o6 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Il est clair que tout nombre de la forme 2|xai + avasy-où |x, v sont des entiers, est une période de la fonction F(i£), et il est clair aussi qu^un nombre, s'il peut être mis sous cette forme,

imaginaire), et cela même si Ton suppose seulement p et v réels.

ne peut Tétre que d'une seule façon (puisque le rapport -^ est

124. En résolvant par rapport à (U|, ci>3 les équations qui définissent Qty û3, on obtient

les quantités a)| , 0)3 ne pourront donc être mises sous la forme ^kQ^ +VQ3, |x et v étant entiers, que si les coefficients

1' "TcT' "TcT' fù ^^^^ entiers, et s'il en est, par conséquent, de même du déterminant de ces coefficients, c'estrà-dire de

ad — ^c __ I ^

il faut pour cela que CD soit égal à ih i .

Inversement, s'il en est ainsi, il est évident que les quantités 2(ij|, 2W3 et, par suite, toute période de la fonction F(m), pourront être mises sous la forme 2[jlû| 4- 9-VÛ3, |x et v étant entiers. En d'autres termes, si l'on continue à désigner par /?i, /i, ix, v des nombres seulement assujettis à être entiers, on peut affirmer que, si (D est égal à di i, à chaque nombre a[Jiûi 4- ^vû3 correspond un nombre 2m(i}{ + 2nc«)3, et un seul, qui lui est égal, à savoir celui pour lequel on a

et que, à chaque nombre 2/?ia),4- 2/1(1)3, correspond un nombre 2[jLû| -h 2VÛ3, et un seul, savoir celui pour lequel on a

(£)lL = md — ncy (ôv = — mb -i- na.

Lorsque cô est égala ± i, nous dirons que le couple (aoi, 2Û3), défini par les formules précédentes, est équivalent au couple (20)1, 20)3). Les deux couples sont proprement ou improprement

équivalents selon que (ô est égal à + 1 ou à — * (*)• Nous ne considérerons plus tard que des couples proprement équivalents,

aGn que le coefficient de i ait le même signe dans ~ et — ; mais,

tout d'abord, cette restriction n'est pas nécessaire. Il convient de remarquer que, si le déterminant

est égal à ±1, deux nombres a, 6, c, rf, pris dans une même ligne ou une même colonne, ne peuvent être pairs simultanément.

Il résulte de ce qui précède que si le couple 2Q|, aû3 est équivalent (proprement ou improprement) au couple 2a)|, 20)3 et si l'on forme un réseau de parallélogrammes au moyen de 2û{, 2Û3, comme on en a formé un au moyen de 2(U|, 2(03, les sommets des deux réseaux coïncideront; nous laissons au lecteur le soin de montrer que les aires des deux premiers parallélogrammes des deux réseaux sont égales.

125. Eu supposant toujours les couples (2 û|, 2 Û3) et (2 (i}|, 20)3) proprement ou improprement équivalents, nous allons maintenant montrer que les fonctions d'w, Ç«/, pu^ formées au moyen du couple (201, 2Q3), sont identiques aux fonctions (^1/, X^u^ pu, formées au moyen du couple (awi, a (03) : en d'autres termes, on a

l (1) 3'(u I ûi, Û3) = 3'(a I o),, tu,),

(XIX) < (3) ;("|û„Û3) = î(w|w„a)s),

f (4) p(«|ûi, Û3) = p{w 1^1,0)3);

les deux dernières égalités sont d'ailleurs des conséquences évidentes de la première.

On vient de voir qu'on pouvait établir entre chaque système de nombres entiers /?i, n et chaque système de nombres entiers UL, V une correspondance telle que, si Ton pose

5 = awioi -h 2/1103, s = '^.jjiûi -+- 2VÛ8,

C) Le lecteur reconnaîtra sans peine que deux couples équivalents à un troisième sont équivalents entre eux.

2o8 CALCUL DlFFÉRBIfTIEL.

les nombres s, s soient égaux quand les systèmes (m, n) d'une part, (|x, v) de l'autre, se correspondent et que, réciproquement, cette égalité n'ait lieu que dans ce cas. D'ailleurs les systèmes [jL = o, V = o et m = o, /^ = o se correspondent; par conséquent, les deux produits infinis

et

no / u\ -+i

ne diffèrent que par l'ordre des facteurs; on a donc bien

(3'(a I Wj, 0)3) = 3'(m I ûi, ûa)-

Le même raisonnement (d'ailleurs inutile) s'applique aux séries qui représentent les fonctions Çw, pu.

126. Les deux séries entières en // (IV|), qui représentent (^(w|(i)4, (03), (^(w|û|, 0$) doivent donc être identiques terme à terme; c'est d'ailleurs ce qui résulte de l'expression des coefficients; on a, par exemple (IV5),

et il est manifeste que la substitution des nombres s aux nombres s ne change pas la somme des séries qui figurent aux seconds membres; Tordre des termes seul est modifié. C'est ce qui justifie la dénomination d^ invariants donnée aux nombres g29 ffz»

127. Voyons maintenant quelle modification apporte aux fonctions diUf ^2^'? ^3^^y ÇiWj Ç2W, Ç3W la substitution du couple de périodes 2ai, 2Û3 au couple de périodes 20),, 20)3.

En définissant d'abord, par analogie, un nombre Q2 par l'égalité

et posant ensuite

iii = ^iîi = ^(au)i4- 6103) = aT,,-h 6r,3, (XX,) { Us = ^^2 = s(— aw,— ^tog— ctoi — diû^) = — ar,, — 6 tj,— cr^i — dr^:^ "3 = î^3 = J(cwi-|-<iu)3) = cr,i-+- c^r,3,

LA PONCTION ^U BT LBS FONCTIONS QUI EN DÉRIVENT. CÎO9

on oblieadra de nouveau

et

^^ il faudra prendre le signe + ou le signe — suivant que le cOLi jdIc 201, 2Û3 est proprement ou improprement équivalent au coLm ^le primitif awi, 2(03. Quoi qu'il en soit, H| Û3 — H3Û1 est

"^^■^c, comme (n® 92) rj, (03 — t,3(o,, un multiple impair de --•

ï-ï résulte d'ailleurs du n® 108 que t,|(iJj — t^z^\ est égal à

-^ — ou à suivant que le coefficient de / dans — est positif

a a ^ {ii\ ^

ovt négatif. Nous avons vu, d'autre part (n** 123), que le signe du coefficient de i est le même ou est opposé dans les deux rapports —

€l -i , suivant que le couple 2û|, 2123 est proprement ou impro-

prement équivalent au couple 2(1),, 20)3. Donc, dans les deux cas, on a

(XXs) 1I1Û3— liaûi ==fc — ,

OÙ il faut prendre le signe -\- ou le signe — , suivant que le coeffîcient de i dans le rapport — est positif ou négatif.

128. En désignant toujours par s l'une quelconque des valeurs t* aû| -H 2VÛ8, où }x et v sont deux entiers quelconques, on voit que le nombre

s — ili = (2|xa -- vive) a>| H- {'i\kb -h i^td) Wj— aïoi — 60)3

est congru modulis 20)1, 20)3 à quelqu'un des nombres 5 — w,, s — CO2, s — 0)3; on sera dans le premier cas si a est impair et ff pair, dans le second si a et 6 sont impairs, dans le troisième si a est pair et b impair.

Supposons, pour fixer le langage, qu'on soit dans le premier cas. Si l'on se reporte à la formule (V|), on aura, en y remplaçant T. et M. — I. l'i

a par co,,

Si, dans le second membre^ on remplace s par s et ci>i par û|, on voit de suite, par un raisonnement identique à celui du n** 124, que, à chaque système d'entiers m, n, on peut faire correspondre un système d'entiers jjl, v, de manière que les nombres s — <i>i, s — û| soient égaux si les deux systèmes se correspondent et que, réciproquement, cette égalité n'ait lieu que dans ce cas; le second produit infini a donc la même valeur que le premier et l'on a

^(to, |io,, (0,)

Mais on a

crCûiliînila)

P("|w,,Wj) = p(m|ûi,Û3),

et, dans le cas qui nous occupe, où a est impair et b pair, on a évidemment

p(Ûi |lO,, tOj) = p(U), I W|, Wj) = C|.

Si donc on se reporte à la définition de la fonction c^i w (n° 110), on voit que, dans ce cas, l'on a

cri(M I û,, Ûj) = 3'i(a| toi. ^%)'

D'ailleurs, comme ad — bc est égal à riz i, rf est, dans le cas qui nous occupe, nécessairement impair.

Si c est pair, on a

J)(i2j I iii, Û3) = P(W, I Wj, 0)3) = Cj, p(il3|ûi,ft3) = P(W3|Wi, 103) = C3;

donc, en remplaçant a par (1)2 dans la formule (V|) et raisonnant comme tout à Thcure, on aura

CsCal Ûi, Û3)= 3'2(m| W,,U)3), 3'3(a I Û,, Û3) = 3'3(m I Wi, (O3 ).

LA F0.NCTI0.1 "ia BT LES PONCTIONS QUI BN DËHIVEMT.

Si, au contraire, c est impair, on a

p(û, I a,, Q,) = p(<u> I o)., tu,) = e,, P(Qi|Bi,B))=P(io, |u)„iui) = e„

et l'oQ parvient aux relations

La même démonsl ration s'applique à tous les cas, et l'on reconnaît que la substitution des périodes na,, aa, aux périodes ïcii), at»], ou laisse les fonctions iiu, d^u, djU invariables ou ne fait que les remplacer par les mêmes fonctions rangées dans un autre ordre qui ne dépend que de la parité des nombres a, b, c, d, à savoir dans l'ordre où il faut placer les quantités e^ , e^, €3 pour obtenir les quantités jDfii, Ji^ii J>Qi- D'une façon plus explicite, voici le résultat auquel conduit l'examen de ces divers cas.

Soient

(XXO

1 put, =

pu), =

On aura

( ffiCwlûl.Q») = 3'i(M|w,,U>,),

(XXi) cf,(H|a,,Qii = 3'(,(«I<u„i«i),

I o',(«|û„Qi) = *v("|<"„""j),

où X, [*, V sont les nombres entiers i, 3, 3 rangés dans un orilpE que détermine le Tableau suivant :

Oi

OJ,

Ixi,

lu,

«Il

Uj

Au-dessous de a, 6, c, d^ dans chaque ligne horizontale, sont les restes de la division de ces nombres par 2. Sur la même ligne, au-dessous de û|, û^, Û3, sont celles des quantités (U|, (i>2, (o^, qui sont congrues respectivement à û|, Q2) ^3 modules 2(i>i, 20)9. Sur la même ligne encore, au-dessous de X, |x, v, sont les valeurs par lesquelles doivent être remplacés ces indices, tant dans (^lu^ <^|i<^> (i^u que dans «x, e^, e^] enfin, pour la commodité de ce qui suit, chaque ligne horizontale porte un numéro d'ordre qui permettra de désigner le cas correspondant.

11 est à peine utile d^àjouter que la substitution du nouveau couple de périodes au couple primitif ne fait que changer les fonctions Çi^/, ^2^^» ^3'^ dans le même ordre que les fonctions

^1 Uf (i'2Uy ^3 U,