Posons (XI

, 3'a(a8|ûi,Q,)

*^ P * 3'(£lp| Ûi,Û3) '

puisque les quantités E| , E2, K3 ne sont autres que les quantités ei , €2, e^ rangées dans un certain ordre, il est clair que les six différences Ep — Efli ne sont autres que les six différences e^' — e^' rangées dans un ordre convenable, que Ton déterminera sans peine, dans chaque cas particulier, à l'aide du Tableau précédent; mais il importe de remarquer que si Ton a, par exemple,

Ep = ep-, Ea = ^a',

on ne peut en aucune façon aflirmer que l'on a

en adoptant pour chacun des radicaux la signification précise ([u'exige la formule (Xle); on sait seulement que Ton doit avoir

y/Ep— Ea = li; /t'^. — f^ ;

la détermination du signe qu'il faut adopter dépend de la valeur des restes de la division des nombres a. 6, c, d par 4- Nous allons montrer, dans un cas particulier, comment se fait cette détermi-

nation, et nous réunirons tous les résultats dans un Tableau; le lecteur n'aura aucune peine à vérifier ces résultats. Pour éviter

toute ambiguïté, nous conserverons la notation y/Ep — e» quand même nous saurons, dans chaque cas particulier, auxquelles des racines Ctj e^, e^ sont respectivement égales les quantités Ep, Ea, parce que, autrement, on serait amené à écrire deux fois le même symbole, un radical carré portant sur une différence de deux des quantités ^i, e^, e^, avec deux sens différents.

Enfin, dans ce numéro, nous supposerons que le coefficient de / dans — est positif, et que ad — hc est égal à i ; le lecteur traitera

sans peine les autres cas. Dès lors, le coefficient de / dans — sera

aussi positif, en sorte que les formules (XIII4) s^appliquent aussi bien aux quantités y/Ea — Ep qu'aux quantités sje^^ — ^p î en d'autres termes, on a

/e3 — E j = i /Et — E3 , v/es— El = — t V^Ei— E3 , v/Ej— E, = îVEi— Ej,

et il suffira d'avoir les résultats pour, les trois radicaux \Jil^ — E3,

y/ei — E3, v/ei — Ea.

Nous désignerons, pour abréger, par a\ U y c', rf' les quotients entiers de la division par 2 des nombres a, 6, c, d pris de façon que le reste soit toujours o ou i ; par exemple, dans le cas 2** du Tableau (X = i , jii = 3, v = 2), on aura

o = 'la'-h I, 6 = 26',

C = 2C'-f-I, C?=2C?'-hI,

et l'égalité

ad — hc = I

montre que Ton a

par conséquent, o! -\- d^ — V est pair, donc aussi a'-j- rf'+ h'.

21 4 CALGCL DIFFÉRENTIEL.

A chacun des cas du Tableau correspond un résultat de même nature; tous ces résultats sont compris dans le Tableau suivant où, en face du numéro d'ordre de chaque cas, on a placé la congruence correspondante prise suivant le module 2

Remarquons encore que, en vertu des formules (XII2), on a, quels que soient les entiers p et q, les relations

a'(M-h 2/?t0i-h îàçroij) ^ c'a'

o^a(M-4-a;?(i>t-+-2y^3) , v^^ 52if , ^(a-l- 2/?a>i-h 2^0)3) ^ s'a'

a'(M -h '2/>wi-h 2^(1)3) s'a

Ceci posé, revenons au cas 2" que nous traitons comme exemple; on a alors, en convenant de ne pas écrire les demi-périodes quand elles sont (i)|, (1)3,

Gr,(wl ûi,Û3) = s*, a,

3'j(« I Ûi, Os) = 3'3M, 3'3(a| Ûi, Û3)= 3',u.

On aura donc

/ 3-7- __ 5^3(01 |Qi, Q.i) 3't(2a'tOi-t-2 6'u)3-HOi)

^ ~~ a'(û, |û,, Û3) "" 3'(2a'wi-+-26'a>3-+-W|)

puis

V^Eî--Bj =

q^>(û«|ût,û»)

a*» [— 2(a'-+- c'-+- 1) cof — 2(6'-+- rf') (1)3 — (1)3]

3'[— 2(a'-h c'-hl) W|— 2(^'-+-</')C0j — W3]

la dernière égalité provenant des formules (XIII4); enfin

V/lii— E| =

S'ira! |Û,,Û3)

s'Cû, |Ûi, Us) o'i(2a'(U|-Haô'w3

5'(2a'a>i4- 2 6'(Oj

Wi)

Les cinq autres cas se traiteront de la même façon, et tous les résultats se trouvent résumés dans le Tableau suivant : la première colonne contient les numéros d'ordre des six cas; la seconde, la troisième et la quatrième colonne contiennent les valeurs de y/Ea — E3, y/E| — E3, y/fii — Ea»