C-Hl

ft-»-l

t( I) î /ei e.

rt-»-6— t

i(— i) * ^ey — e^

2l6 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

VI. — Transformation d'ordre quelconque des fonctions (i*. — Substitution aux périodes primitives de périodes nouvelles liées linéairement aux anciennes.

130. Nous avons montré ce que devenaient les fonctions c^i/, ^1 Uy d^Uj ^^u quand, au lieu de les former au moyen des demipériodes o>,, o>3, on les formait au moyen des demi-périodes aii>i -f- 6^3, ca)| -h rfa)3, où a^ b, c, d sont des entiers liés par la

relation

ad — ùc = i.

Il est naturel de chercher, d'une façon plus générale, quel lien existe entre les fonctions

a'(a|a>,,(o,), a'a(M|wi,a>3) (a = i,2, 3),

d'une part, et les fonctions

a'(w|ûi,ûj), a'a(tt|û,,û3) (« = 1,2, 3), d'autre part, lorsqu'on suppose

où a, 6, c, d sont des nombres entiers assujettis seulement à celte condition que le déterminant

ad — bc = 6d ne soit pas nul.

Le problème peut d'ailleurs être notablement simplifié. Nous prouverons en effet, dans le numéro suivant, que, si l'on suppose (JL>{, 0)3, û|, Û3 liés par les relations qui précèdent, il existe, d'une part, un système (to^, co^) proprement équivalent à (coi, 103), de l'autre, un système (û'^, q[) proprement équivalent à (ûijûj), tels que l'on ait

X, (JL étant des nombres entiers assujettis seulement à ces deux conditions : 1® leur produit est égal à (0; 2° leur plus grand commun diviseur est le même que celui des nombres a, t, c, d.

Dès lors on voit que le problème posé sera résolu si l'on sait

LA FONCTION (^ U ET LES FONCTIOrtS QUI EN DÉRIVENT. 217

quel lien existe entre les fonctions et les fonctions

et ce dernier problème se décompose lui-même en deux : passer des fonctions a", a*!, d-it <^ii formées avec un système de demi-périodes (0|, (1)3, aux mêmes fonctions formées avec les mêmes demipériodes dont Tune ou l'autre est multipliée par un nombre entier ou divisée par un nombre entier. Comme le système (coi^co.,) est improprement équivalent au système ( — (0|, 0)3), on voit même que l'on peut se borner au cas dans lequel le multiplicateur (ou le diviseur) est un nombre entier positif. C'est le problème qui nous occupera quand nous aurons démontré le théorème annoncé.

131. Ce théorème, si l'on ne tient pas compte pour un moment des conditions imposées aux nombres )., [x, revient à dire que, en supposant û|, Û3 définies par les relations

(a) ûi = awi-h 6(03, Û3 = cwi -+- ûfwj,

où a, b, c, d sont des entiers tels que

(6) (Ç) = ad--bc

ne soit pas .nul, il existe des nombres entiers a, p, y, 0, a', p', y', 8' liés par les relations

et tels que les relations (a), jointes aux suivantes

j W; = a COiH- P (O3, W3 = YW|-hOW3,

^ ^ ( û; = a'û|-hp'û3, ûi = Y'ûi-i-û'û3,

entraînent les relations

(a') q\ = Xco'i, Û3 = [ia>;,

où \ [X sont des entiers. Cela revient encore à dire qu'on peut satisfaire, au moyen des nombres entiers a, p, y? 8, a', P', y,

2l8 CALCUL DIPFÉRENTIBL.

o', X, [x aux relations (c), d^une part, et, de Tautre, aux relations

qui s'obtiennent en éliminant o>', , co,, û',, û^ entre les relations (a), («'), (rf), ce qui fournit les équations

a'(aa)|-+- ^a>3)-h p'(c(Oi-f- rfwa) = X(au)i-+- pti)|), Y'(aco| -h ^wj) H- o'(cw| -f- rfcos) = fi(YW|-+- owj),

et en écrivant ensuite que les coefficients de coi, (03 sont respectivement égaux dans les deux membres.

Des équations (e), on déduit d^ailleurs immédiatement

(«5 - Py)X|x = (ad-bc)(0L'^'-^ ?'y'),

ce qui montre, en tenant compte des relations (c), que l'on doit avoir

Ceci posé, supposons d^abord que «, c soient premiers entre eux et choisissons deux entiers arbitraires x, y tels que l'on ait

on tirera de là et de la première des équations (e)

rt(a'— 'kax)-¥- c(p'— Xaj^) = o, d'où Ton déduit sans peine qu'on doit avoir

h étant un entier arbitraire; ces formules fournissent d'ailleurs la solution la plus générale de la première équation (e) quand on y regarde a\ ^' comme les seules inconnues. Si, dans la troisième équation (e), on regarde de même y', 5' comme les inconnues, la solution la plus générale de ces équations sera fournie par les formules

(g) y'= f^ï^-^^"^> o'=[iY7 — ^'«>

A* étant un entier arbitraire.

LA FONCTION d II ET LES FONCTIONS QUI EN DÉRIVENT. 219

Si l^on substitue, dans la deuxième et la quatrième des équations (e), les valeurs de a'j |3', y', 3' données par les quatre formules {g)^ on trouvera, après des réductions faciles, en tenant compte de (/),

^ 1 ^ = -h^-^i.{bx-^dy),

\ 0 = — k\ -^ '{(bx -h dy).

D'un autre côté, si Ton forme, au moyen des formules {g)j l'expression a'S' — ^Y, on trouve de suite qu'elle est égale à

ce qui montre que Ton doit avoir

(k) JJ"- ^* Y — X ^ a = r .

Inversement, si l'on peut trouver des nombres entiers X, [jl, a, Y, /i, k tels que Ton ait

X|x = (i), ja/iy — X/a = i,

le problème sera résolu; car, une fois ces entiers trouvés, si l'on détermine p, 5 par les équations (A) et a', P', y', 5' par les formules {g)j il résulte de l'analyse précédente que les relations (a) et (d) entraîneront les relations («').

On voit, à cause de (A"), que X, [jl doivent être choisis premiers entre eux; on décomposera donc (ô en un produit de deux facteurs \ [X premiers entre eux; on choisira ensuite des entiers A, k de façon que les entiers [xA et Xk soient premiers entre eux; enfin on choisira a, y de manière à satisfaire à l'équation

[ji^Y — XA-a = i.

On peut prendre en particulier \= ad — te, ix = i .

13!2. Supposons maintenant que a et c ne soient pas premiers entre eux, mais que a, 6, c, d aient pour plus grand commun diviseur l'unité.

On commencera par substituer à coi, CO3 des nombres proprement équivalents o)^,®^, tù^^\ définis par les équations

220 CALCUL DIFFÉRENTIBL.

/?, ^, r, 5 étant des entiers quî vérifient la relation

ps — qr = t.

On aura alors

en posant

ao = ap -h ùr, Ùq = aq -^ bs,

Cq = cp -h dr, do= cq -+- ds.

Or il est aisé de voir qu^on peut choisir les nombres/?, r premiers entre eux de façon que ao, Cq soient premiers entre eux. Il faut évidemment, pour cela, prendre r premier au plus grand commun diviseur de a et de c, puis p premier d'une part à r, de l'autre au plus grand commun diviseur de b et de d. Si/>, r satisfont à ces conditions, il est clair que a^, Co ne peuvent avoir comme diviseur commun un facteur premier divisant soit /?, soit r, soit le plus grand commun diviseur de b et dj soit le plus grand commun diviseur de a et c. Nous imposerons encore une autre condition à r.

Décomposons (£) en deux facteurs premiers entre eux AetB; A comprendra tous les facteurs premiers de CD, pris avec leurs exposants, qui divisent le plus grand commun diviseur de a et c; B sera formé des autres facteurs premiers. Nous prendrons pour r un multiple de B, ce qui n'est évidemment pas contradictoire avec les autres conditions auxquelles/?, r restent soumis. Mais, en éliminant/? entre les équations qui définissent «o> <^o? on obtient

AB/* = acQ — coof

ce qui montre qu'un diviseur premier de a„, Cq devrait diviser A, B ou /•. Cela est impossible, puisqu'il ne peut diviser ni r, ni B qui est un diviseur de r, ni A qui est composé des mêmes facteurs premiers que le plus grand commun diviseur entre a, c.

Les nombres premiers entre eux /?, r étant ainsi choisis, on choisira g, s parmi les entiers qui vérifient Téquation

ps^rq = 1,

et l'on aura trouvé le couple (to*®\ Wj"') satisfaisant aux conditions imposées. Dès lors, puisque «o, Cq sont premiers entre eux, on

pourra, comme il a été expliqué plus haut, trouver des nombres ci>', , iù'^ proprement équivalents à (0,®^ o),®' et, par suite, à (0|, 0)3, et des nombres û',, û', proprement équivalents à û|, Û3 tels que les relations (a) entraînent les suivantes

X, [jL étant des entiers assujettis seulement à être premiers entre eux et à avoir pour produit ad — bc.

133. Si enfin a, 6, c, d ont un plus grand commun diviseur m, on écrira les relations (a) sous la forme

ah c d

mm mm

et l'on est assuré, par ce qui précède, de Texistence d'un système (m (!>',, /ntOj) proprement équivalent à (/«W|, m (1)3) et d'un système (û'j, Û3) proprement équivalent à (û|, Û3), tels que les relations précédentes entraînent celles-ci :

\ UL étant des entiers seulement assujettis à être premiers entre

eux et à avoir pour produit ^ — • D'ailleurs, si les systèmes

(mcoi, mcos) et {^miù\^ '^Wj) sont proprement équivalents, il est clair qu'il en est de même des systèmes (wi, (1)3) et (o)', , co,). Puisque le plus grand commun diviseur de Xm, (xm est m et que le produit de ces deux nombres est ad — te, le théorème énoncé au début est entièrement démontré.

13i. Nous allons chercher maintenant à exprimer les fonctions ^, JJ,f) formées avec les périodes - — ' > 20)3 au moyen des fonctions ^> ?> P formées avec les périodes 20)1, 2CO3; /i est un entier positif.

Partons de l'expression de 3'(m — 7 C03J décomposée en facteurs primaires (II| )

222 CALCUL DlFFÉRBlfTlKL.

OÙ Ton suppose

s = 2U h 2VWj,

et où [X, V doivent prendre toutes les valeurs entières positives, nulle ou négatives, à Texclusion de la combinaison [ji = o, v = o.

Nous allons grouper ensemble tous les facteurs primaires pour lesquels les nombres [x sont congrus suivant le module n; en multipliant ensuite tous les produits relatifs à n nombres choisis arbitrairement, mais tels que la différence de deux quelconques d'entre eux ne soit pas divisible par /i, il est clair que nous aurons employé tous les facteurs primaires de 3'(// — , (O3J et que cette

fonction sera égale au produit considéré.

Soit d'abord — r un nombre entier quelconque non divisible par 71 ; les nombres (x congrus à — r suivant le module n sont de la forme

où [x' est un nombre entier quelconque; les valeurs correspondantes de s sont de la forme

s = 5 — ir — , n

en supposant

s = -I^l'lOi -f- 2Vt03,

et l'on aura tous les nombres s considérés en supposant que ix', v prennent toutes les valeurs entières sans exception. Le produit de tous les facteurs primaires correspondants sera

Ml n* .

5 — ir — n

et la formule (V^), dont Tusage est légitime puisque a/- -- n'est pas l'un des nombres s, montre que ce produit est égal à

les fonctions d^ Ç, p étant formées au moyen du couple de périodes 2a)|, 20)3.

Quant aux facteurs primaires pour lesquels jjl est divisible par n^ en comprenant le facteur u parmi eux, on voit de suite que leur produit est égal à o'w ; on a donc, en désignant par t\ , /'a, . . ., rn-\'i n — I nombres entiers tels qu^aucun d'eux ne soit divisible parn, non plus que la différence de deux quelconques d'entre eux

„2r(!i:îîî.)^^*2:J---') o'/'w-^i^)

(r = ri, rj, . .., r^-i).

13o. En vertu de la périodicité, p i ^ j ne change pas quand

on augmente r d'un multiple entier de /i; par conséquent

ne change pas quand on substitue aux nombres /* d'autres entiers satisfaisant aux mêmes conditions; si donc on pose

on aura

(XXI,) ^p/i^j =2Fi (/• = ri, rt, ..., r„,).

De même, à cause de la formule (VI3), l'expression

ne change pas quand on augmente /* d'un multiple entier de n ; donc l'expression

ne change pas quand on substitue aux nombres r d'autres enliers

satisfaisant aux mêmes conditions; si l'on prend pour ces nombres n — \ n — I n — i

> -hl, .... — I, -+-I, -4-2, ..., H

OU

suivant que n est impair ou pair, on voit, en se rappelant que 2^ est une fonction impaire et que l'on a ÇcOf = -/ii , que la quantité précédente est toujours nulle; on peut donc écrire

(XXI.) :r(«ÎJ, ».,)=. -" ^"11 h.rJl\