Nous poserons, conformrment aux notations (XX|

( XXIs) III — n — ,t03 ), "3 = ; ( W3 — , W3), ll,-f-Il2-4-U3 = 0,

(Wlc) E, =J)( — — »«0;i), 1:3 = JM W3 7» W3), Ei-hE,-r-K5 = 0.

( * ) Les formules (XXI) ont dû être données par M. Weierstrass dans ses Leçons (Je i870-«87i. Voir l'important Mémoire de M. Kiepert : Ueber Theiiung und Transformation der elliptischen Functionen {Mathematische Annalen, t. XXVi, p. 369). La formule (XXIJ y est obtenue en prenant pour point de départ la

considération des pôles de la fonction pfw — ^,0)^]; l'égalité entre les deux

membres est une conséquence facile du théorème de Liouville; les formules (XXÎ,), (XXI^) sont ensuite obtenues par des intégrations successives. On verra plus tard que la formule (XXI^) est une conséquence immédiate du théorème de M. Hermite sur la décomposition en éléments simples.

Le calcul des quantités H|, H3 se fait sans difficulté. On a(XXl3)

OU, en vertu des relations (Xfis),

H, = Tj3-+-(/i-i)r,,-4-2)C3(^^')-2^* -H2a>3Pi;

mais la somme

est nulle, comme on le voit par un raisonnement semblable à celui qui a été fait plus haut : on a donc

(XXIj) II3 = WT,j-h2W3P|.

D'ailleurs, puisque n est positif, les quantités H{ (1)3 — H3 — et

•fil (Oj — r,3 (i)|, qui sont toutes deux égales à zb — > sont de môme

signe : elles sont donc égales. De leur égalité et de la formule précédente on déduit