XXVI

Dans ces diverses formules, r doit prendre les valeurs i, 2, .. ., ou, si l'on veut, les valeurs /'i , r2, •••*'*„, définies plus haut.

XXVIU)

On pourrait transformer, d'une façon analogue, les formules où ligurenl des multiples impairs de — -; nous ne nous y arrêterons pas.

14o. Eafin, comme rien dans ce qui précède ne distingne les périodes coi, (03, ou peut, en échangeant les indices i et 3 et laissant invariable l'indice 2, écrire

(XXVII,) { „,^ ^ / 9.r \ ' * , , -/<St1'+"'''> J'ai «h <»$)

Dans ces formules, r doit prendre n — i valeurs Ti, ra, ..., /*/i i, dont aucune ne soit divisible par n non plus que la différence de deux quelconques d'entre elles.

Il est facile d'établir les relations

Quant à Pj, il est défini par Tégalité

(XXVII.) *'''=2^(r"'')"

On peut écrire aussi

Dans ces formules , r doit prendre valeurs dont aucune ne

soit divisible par n non plus que la somme ou la différence de deux quelconques d'entre elles.

Si l'on porte l'attention sur la formule

on voit que la solution du problème posé ne dépend plus que de la recherche de la quantité

et des fonctions symétriques des quantités dont Pj est la somme, fonctions symétriques qui entrent dans le produit qui figure dans le second membre. C'est là un problème d'Algèbre, sur lequel nous aurons à revenir plus tard, et dont la solution, lorsque n est premier, dépend d'une équation de degré /i -|- i.

146. Les pages qui précèdent mettent en évidence l'importance de l'opération qui consiste à substituer au couple de demi-périodes ((Oi, (03) le couple (awi h- ^0)3, ycoi -|- 8(03). Nous aurons besoin plus tard de connaître quelques notations et propositions concernant la théorie de ces substitutions; nous les rassemblerons, à la fin de ce Chapitre, dans les numéros qui suivent, afin de ne pas être obligés, quand nous aurons à les invoquer, d'interrompre la suite naturelle des raisonnements.

Désignons par Xj y deux quantités quelconques; ce seront, si l'on veut, des indéterminées, ou bien, comme dans les n°* 123 et suivants, des nombres à rapport imaginaire. Nous appellerons substitution ( * ) l'opération qui consiste à remplacer ces quantités x^y par deux autres qui en soient des fonctions linéaires à coefficients déterminés et de déterminant non nul; si, par exemple, nous remplaçons or, y respectivement par clx -\- ^y^ *fx -+- oy^ nous dési-

(') Le mot substitution a une sigDÎGcation beaucoup plus générale que nous n'avons pas à développer ici.

LA FONCTION 0*1/ ET LES FONCTIONS QUI EN DÉRIVENT. sSq

gDeroDs celle opéralion par le symbole

ciy

Nous emploierons souvenl une seule lellre pour désigner la même opéralion; si nous écrivons, par exemple,

nous enlendrons simplemenl que Topéralion S esl la même que Fopéralion

Cl}

Si nous efTecluons celle opération suTX^y el si nous effectuons ensuite sur les quantités ax -{- ^y, yx -{- 3jk, l'opération

cela reviendra à remplacer eux -f- ^y^ yx -{- Zy par

a'(ax -4- Pj^)rH ?'iyx -f- ^y) = (a'a -f- ^'y)x -h (a'P -h ?'^)y, Y'(«a7-f-pj^)-+- 8'(Ya7-hoj^) = (Y'a-+- 8'Y)ar-+- (fp -+- ù'^)y,

et l'on aura finalement remplacé x, y par les seconds membres des équations précédentes, c'est-à-dire qu'on aura effectué sur X, y l'opération

La double opération qui consiste à eff*ectuer sur x, y l'opération S, puis sur les quantités qui remplacent alors x, y Topération S', s'écrit

Vy' S' y Vï ^/ \t'«-hS'ï y'P-+-5'5/'

les opérations s'efiectuant dans le sens indiqué par leurs symboles en allant de la droite vers la gauche. Le déterminant de la substitution S'S esl égal au produit des déterminants des substitutions

24o CALCUL DIFFÉRENTIEL.

S et S'. Il est essentiel de remarquer que les deux symboles S'S et SS' désigaent en général des opérations différentes. Si S'^ est un troisième symbole de substitution

i'iy

on désignera par le symbole

l'opération qui consiste à effectuer sur x, y l'opération S, puis sur les quantités ainsi obtenues l'opération S', puis sur les résultats l'opération S'', ce qui donne finalement

a'[(a'aH-P'Y):r-+-(a'P-+-P'a)^]-+-P'[(Y'a-+-ô'Y)^-*-(ï'P-*-S'S)r]»

Cela revient encore à effectuer sur x^y une certaine substitution linéaire dont il est bien aisé de calculer les coefficients.

Les substitutions S'S, S" S' S sont dites composées avec les substitutions S, S' ou S, S', S". Il est clair que la notion de composition peut s'étendre de proche en proche à un nombre quelconque de substitutions.

Si S' et S représentent la même opération, c'est-à-dire si, en conservant les notations antérieures, on suppose

(ce que Ton écrit plus rapidement S'=: S), on convient d'écrire S^ à la place de SS; de même S' a le même sens que SSS. On comprend dès lors ce que signifie un symbole tel que

OÙ Pf Pii P2} Pi sont des nombres entiers positifs; on doit effectuer sur œ^ y l'opération S une première fois, puis encore cette même opération sur les résultats, etc., en tout, p fois; puis, sur les résultats, l'opération S' une première fois, sur les résultats encore la même opération S' une seconde fois, etc., en tout p' fois, etc.

Il est à remarquer qu'on peut écrire