XXX

n = ao /!=:« nmao /» = •

154. Revenons maintenant aux égalités (XXIX) du n*^ 152 dont ♦ les conséquences et les transformations font Tobjet principal de cv paragraphe.

Tout d'abord, nous remplacerons, dans ces formules, u successivement par W|, W2, ci)3 de manière à avoir les développements en produits infinis de ^d^ai ^^^a*

Remplacer u par cJ| , io^^ W3 revient h remplacer r par - «

- et .5 par

ni

On observera que, en vertu de ces égalités même, les notalions y*, q ^, que nous remplacerons à l'occasion par y/gr,-—

TCl 1

Vtzi i

c i=-.iq i^

ne comportent aucune ambiguïté. Nous serons aussi amenés à

écrire v^'"> '"j v'v ? î'"» ^^ désignant un entier quelconque et n un entier positif quelconque, et nous entendrons par là

m. mizi

I m. mni

(XXVIII3) '

m WT1T'

V^çr'» = qf* =z e " ,

de sorte que les symboles J/7^, i"^ (7^"S Ç" "^ comporteront jamais aucune ambiguïté; nous disons cela une fois pour toutes.

Comme les produits infinis qui figurent aux dénominateurs des formules (XXIX |4) s'introduisent dans un grand nombre de formules, nous poserons aussi, pour abréger,

n=oo n = «»

l ?o = JJ(i - y'"), «!'i = JI( '-+-?"').

(xxviiio < "=' "='

7t=jQ(i + ?'"-'). 73 = IJ(i-S''»-')-

Lés quantités qo, q\i q-it <Jz sont liées par une relation algébrique qu'on obtient immédiatement en remarquant que les produits infinis

étant absolument convergents, on peut écrire

/irr 90 nrrae

^0 = W^^ - ^"jJ'JCi -+- q'%

n - 1 n=zl

puis, en groupant dans chaque produit infini partiel les facteurs pour lesquels n est pair, d'une pari, et ceux pour lesquels n est impair, de Tautre,

n — X n — ce n ~ tn /irr»

^0 =1 J[(i - 7''*) J"J(' - ^-''-ol^r* -^ ^'")jn[(' ■^^^'^^^^

d'où

(XXVIII,) yi5r,y, = i.

155. Si nous mettons coi, (Os, co, à la place de u dans le facteur e*'ii**i*'* qui figure partout dans les formules (XXIX), nous trouverons respectivement

tjtfa), y},<i)î TjxtùX

Les deux dernières quantités se transforment comme il suit : Tégalité

ire

montre que Ton a

on aura donc

-ii— i — r,, 10, = = — î^ -' ;

TQ,<i)î Yjtfa), TÇi 7Ç/T Tlifa)» 1

on trouve de même

Dès lors le calcul des diverses quantités (J'wa, (J'pcoa ne présente aucune difficulté. En remplaçant, par exemple, dans la

formule (XXIX2), u par 0)21 5 par -— > z'^ par ^^1 on trouve de suite

En observant que Ton a

on obtient donc l'égalité

cfi (oj =^ — e

Le calcul se fait de la même façon pour les autres quantités et Ton trouve finalement les résultats qui figurent dans le Tableau suivant, dont la disposition s^explique d^elle-méme