XXXI

^Ci —63 =

\/ei — e, = /«i — ej =

•2 0)1 •2tOi '2 0)1

WS^tî''

Le calcul des autres radicaux et les formules (XIII4) fournis sent une vérification.

Ces expressions mettent bien en évidence ce fait, établi au n** 1 19,

que les trois quantités ^e^ — ^3, \Je^ — ^3, sje^ — e^ sont des fonctions homogènes et du degré — i des demi-périodes w^, (03.

Les expressions de e^ — 63, e\ — ^3, e\ — e-^ au moyen de </, yo> 7o 72> <l% nous fournissent une seconde relation algébrique entre ces dernières quantités, à savoir

(xxviiu) ^^qq\ = q\-q\\

c'est en effet la conséquence immédiate de l'identité

(«î — «3) = («I — «s) — («1 — eO-

157. Nous définirons sans ambiguïté les racines quatrièmes des différences e^ — ^3, e^ — ^3, e\ — e^ et la racine huitième du discriminant (j de l'équation

4X«— ^jX — ^3=4(X— ei)(X — eî)(X — e3)=o,

en posant

(XXXI3) { y^^e,= ^/^^q,q\^

Vei-e,= ^JLq.gl

(XXXI4) y/Tj= )/ei—€i \/ei—e3 ^'^— éf,= ^tt-\/ ~^qîq*

Dans toutes ces formules la signification de 4 7;-^ est la même; elle peut d'ailleurs être fixée arbitrairement.

138. Les produits infinis qui dans les expressions (XXIX) obtenues pour du, c^i w, a'2«, d:iU figurent au numérateur sont susceptibles d'être développés en séries convergentes, d'une forme

très simple, entières en ^ ou en ^^ ( * ).

(*) Le procédé de passage à la limite que l'on trouvera ci-dessous pour déduire la fonction 2r de la fonction r a été développé par M. Biehler, qui en a

lO CALCUL DIFFÉRENTIEL.

Considérons d'abord le produit infini

J2[(l -h ^««-»Z« )(l -f- çr»«- 1.5-*)],

qui figure dans l'expression de ^^w et posons pour un instant

11 est clair qu'on peut écrire

o{z) = ao-hai(z^-h z-^)-^. . .-+- a^(5** -f--5-**) -t-. . .-h ««(-s*» -+- «-*»), ^0, ai, . . . , ^A, , . » ^ Un étant des fonctions entières de q.

D'ailleurs la définition de 'f (a) montre que l'on. a

X ;r:i(»-^9'-*) (i-Hy5-»)...(i-+-5''«-»«-«), d'où

En remplaçant, dans cette identité, '^{z) et ^{qz) par

ao-!-«ri(5r»z*-l- ^-*3-*)-^.. .-+-a„(^*'»J««-!-5r-ï«3-»»),

puis en égalant dans les deux membres les coefficients de 5~**"*"*, il vient

«A = Clk-\

I qtn-^tk

donné diverses applications intéressantes en envisageant les transcendantes considérées comme des limites de fonctions algébriques {Journal de Crelle, i. 88, p. i85). Le principe en est d'ailleurs dû à Cauchy {Comptes rendus^ i845).

Observons encore que M. Schcllbach dans l'Ouvrage intitulé : Die Lehre von den clUptischen Integralen iind den Thcta-Functionen (Berlin, 1864 ) a pris les produits infinis comme point de départ de la théorie des fonctions Thêta. Jacobi, laimême, avait signalé les avantages de cette marche.

LES F0NCT10!«IS 3^. I i

En remplaçant successivement k par k — i , A* — 2, . . . , i , et en multipliant membre à membre les égalités ainsi obtenues, on aura

„ (l — 7«'»-«*-»-»)(l — ûr»« - î^+*). . .fî — ûr««)

afr= atiQ'' ; — ~ ; — -•

* ®^ (I — 5r2/*-U) (, y2/i-H2A-J^. . .(I — çrî/»-HJ)

D^ailleurs, sur la définition de 'f (v), on voit que Ton a

an = q'*' ; par suite,

(, yi/i-^2^^, qtn^^^, . . (I — q"")

En remplaçant Aq, dans l'expression obtenue pour ^a, par la valeur que fournit cette dernière égalité, il vient

^^* ~" (i — q^)K^ — q^) ...(1 — 7*') (I — Y^'''-^^*)...!! — çr«"-^î*/

ou encore

en faisant, pour abréger,

Il est d'ailleurs manifeste que, quand n grandit indéfiniment, a\ a pour limite Tunité, à cause de la convergence du produit infini

mrroe

JJ(.-r/«'«).

On voit aussi que tous les nombres aj^ restent, en valeur absolue, inférieurs à un nombre positif fixe a\ indépendant de n, par exemple au produit infini convergent dont le m^^'^^ facteur serait

Ceci posé, considérons l'expression

on a, d'après ce qui précède, l'égalité Fn{z)-\'¥a\q{z'^'^z-^)-^,,.-^a'Hq''\z^i^+z-'^f^)-^-,,,-^anq''\z^''-¥z-'^")\

et l'on voit sans peine que, si l'on fait croître n indéfiniment, F|,(w) a pour limite la somme de la série

Que cette série soit absolument convergente, c'est ce qui résulte de ce que la série

est elle-même absolument convergente, ainsi que celle qu'on en

f ff ■

déduit en changeant -3 en - : en effet, ^\fj"'z'^'^ \ = \q"z^\ tend

vers zéro quand n augmente indéfiniment. Regardons maintenant q et z comme des nombres donnés : il est clair que Ton a

I «iy*'(-**-H --**) l< «'I q^(s^^'-^ 5-»*) I;

par conséquent, dans le développement de F„(z), la valeur absolue de la somme des termes qui suivent le terme de rang k est inférieure à la somme, multipliée par a', des valeurs absolues des termes qui, dans la série F(^), suivent aussi le terme de rang A*; or, en prenant k suffisamment grand, on peut supposer cette dernière somme moindre qu'un nombre positif arbitraire e. D'un auljre côté, k étant ainsi fixé, puisque, lorsque n augmente indéfiniment, a\j «j, ..., a^., ont pour limite l'unité, on peut prendre n assez grand pour que la différence entre la somme des k premiers termes de F(:;) et la somme des k premiers termes de Ffi(z) soit moindre en valeur absolue que e; on aura, dans ces

conditions,

ce qui prouve bien que F,i(w) a pour limite F(5), quand n grandit indéfiniment.

Observons en passant que, si Ton désigne par A un nombre positif quelconque, on reconnaît immédiatement, sur la forme même de la série dont la somme est F(5), que cette série est absolument et uni/or même ni convergente pour l'ensemble des valeurs de z qui vérifient les conditions

LBS FONCTIOXS &. l3

Ed effet, on voit, sous le bénéfice de ces conditions, que les valeurs absolues des termes de la série F(^) sont inférieures ou égales aux termes, tous positifs, de la série

série dont la convergence résulte des remarques précédentes. Il suffit dès lors, pour établir la proposition énoncée, d'appliquer le théorème du n" 2i.

Ia9. Nous avons établi Tidenlité

Jl=oe

et, par suite (XXIX3), l'égalité

nous obtiendrons des identités analogues pour les autres fonctions ^u en changeant 1/ en w + tOi, u — too, u -f- Wa, ce qui revient à

changer t^ en r H — > r H ^ v -\ —

A ^ Jm

Par exemple, si l'on change u en 11 — lOo, cl si Ton tient compte de la formule (XIIs)

on obtient Tégalité

en posant, pour abréger,

Si l'on se reporte d'ailleurs aux valeurs de a'wo, e^^' qui ont été établies au n" 155, si l'on se rappelle que Tjoto, — r,,a)2 est égal

à — > on trouve

j4 calcul différentiel.

on a donc

= t lîîil eï^i.wi''- — !.V(i)//^^ *^ g(j»+i;»^/.

^qlq^ n

On obtiendra de même, en changeant m en a 4- Wa dans l'expression de !^2'^» l'égalité

et, en changeant dans la même expression u en 1/ + (i>i)