II. — Relations entre les fonctions ^ et les fonctions â

160. Les développements des fonctions rfw, ^\U^ d^u^ d^ii auxquels nous venons de parvenir nous amènent à introduire quatre

nouvelles fonctions de la variable r = Nous poserons (•)

{v) = V^«V*«*''ïS

^^(r) rrz V (— \)nqn^c^nvTii^

On reconnaît directement, sur la forme même des séries qui figurent dans les seconds membres, que ces séries, regardées comme

(*) Les notations relatives aux fonctions 2r sont celles que Jacobi a introduites pour la première fois dans un cours professé en i835-i836 à l'Université de Kœnigsberg et qu'il a ensuite employées plutôt que celles des Fundamenta dont nous parlerons plus loin. Il ne met toutefois pas d'indice là où nous mettons l'indice 4 et il écrit ^^{vr^) là où nous écrivons 2r^(f) ( Werke, 1. 1, p. 5oi). M. Weier-

LES FONCTIONS 3^. l5

dépendant de la variable (^, sont absolument et uniformément convergentes dans toute région limitée du plan où Ton figure cette variable. En effet, un raisonnement tout semblable à celui de la 6n du n^ 1o8 montre que la série qui définit la fonction ^z{i^) de la variable v est absolument et uniformément convergente pour l'ensemble des valeurs de i> qui vérifient les conditions

où A est un nombre positif fixe quelconque, et Ton reconnaît

strass, M. Schwarz, Halphen mettent l'indice o là où nous mettons l'indice 4; la ▼ariable esl la même que dans notre texte. M. Uermite a employé la notation condensée

oh a, p sont des entiers quelconques; les fonctions ^,,, 0,.„ 0^^, e„, de M. Hermite sont donc dos fonctions i^^y âr,, 2r^, Sr^. On a d'ailleurs

p, q étant des entiers quelconques. Cette dernière formule, à elle seule, contient les Tingt-quatre formules (\\XIV,,) que nous écrivons plus loin explicitement; on Yoit assez, par ce seul exemple, les avantages que cette notation peut présenter dans

bien des cas. Ajoutons que les zéros de Ô,,p(*') sont congrus à ^ 1 ; — t,

modulii i, t.

Les notations de Briot et Bouquet ( T/iéorie des fonctions elliptiques ) se rattachent à celles que nous avons adoptées en posaiiL

e.(x) = 2r.(w) = 2 V (- ./-^('"T-j sin 'Jiir.'ili,

6,(j?)= &,(v) = I-+- i > <7'*-cus— — ,

n — to

e (a?)= ^Jv) =H- -i > (—1 ;"</"* cos

l6 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

immédiatement que ces conditions reviennent à dire que, dans r, le coefficient de { doit être moindre en valeur absolue qu'un nombre positif fixe, d'ailleurs arbitraire. On pourrait faire le même raisonnement sur les autres séries, mais la façon dont on passe de Tune aux autres permet de s^en dispenser. Ainsi les fonctions 2r sont des fondions transcendantes entières en (% et les séries qui les définissent peuvent être différentiées, terme à terme, par rapport à (^. On reconnaît de même que ces séries peuvent être difiiérentiées, terme à terme, par rapport à ^ ou par rapport à T.

161 . En groupant ensemble les termes pour lesquels les exposants de e sont égaux et de signes contraires, et en tenant compte des formules d'Euler (n** 66), on peut écrire

n = oo

(i) ^iC*'} = ^(— O'*^^' sin( 2/1 -1-1)7:1',

(2) &2(ç') = \2Çr C0S(2n -h I)lti',

XXXII) '

(3) ^z{v) = I -t- ^,^y"* cosimzv,

4) 3r^((;)=H-N( — I)«2^''* C0S2/li:P,

OU encore d'une façon plus explicite

3ri(r)= 2<7* sin -r — iq^ sin Ztzv -^ iq * sin Sttp — . . .,

^i(v) = o.q^ cosTCt' H- xq^ cos37:p -H 7.q * cos5tcp -h. . . , ^i{v) = \-^iq cos2 7:t' -H 'A<7*cos \tzv -\- iq^ cosQtzv -h..., 2r^(p)=:i — iq QO'à'nzv -^7. q* cos!\Tzv — iq^ co%(^TZv -\-....

Quand on voudra mettre en évidence, soit le rapport t =.^ ~j à

Taidc duquel les qualre fonctions & sont formées, soit le nombre q z=i e*^'^', on écrira

^,(^1-:), 2rî(p|T), ^ai^'h), ^i^]-^).

à la place de

Avec ces notations, les résultats du n** 159 peuvent être mis sous la forme suivante

(XXXIII) \ (î) 2<7o^î^^<5'iW = e»^i«.'"3r,(t,),

(3) ^oyîcr,a = e«i.'-.»"2r3(t'X

(I) ^o5'Î3'3a = eî>ï.'-.'"2r4(p).

162. Les formules (XXXIlIi.*) peuvent s'écrire sous diverses formes, avec lesquelles il convient de se familiariser.

La première montre que 2r, (^v) s'annule pour u = o. En prenant les dérivées des deux membres par rapport à Uj en supposant a ^ o et en se rappelant que l'on a t^'o = i, on trouve

Divisons l'égalité (i), membre à membre, par celle que nous venons d'obtenir; divisons de même chacune des égalités (2), (3), (4), membre à membre, par celle qu'on en déduit en y faisant M = o ; on trouvera

j (5) o'tt = 2a),^lj^e»^n«..«^

(XXXIII) 1

En prenant les dérivées logarithmiques par rapport à u des deux membres des relations précédentes, il vient aussi

(XXXIII) { ' '

(o) LaW = S: -, — »

T. Cl M. — II. j

et Ton peut meltre ces dernières relations, en tenant compte de celles qui précèdent, sous la forme

Zîiif

âWi')

eîTl,ei),f«^

ab), 3an-i(o)

Si l'on se reporte aux formules (XXXl3 4) qui donnent les

expressions de y t'a — Cj, . . . , au mojen de q^., i/o, . . ., on voit qu'on peut encore écrire

V/^ÎAy

(fu = /c*^i«^t*'«2ri(t^),

(XXXIII

(lo) t/^ y^,— ejO'iM = ïe«^M«."»3r,(r),

(II

:r^ V^ei — eaCTjM = e«î.««>.*"3rj(i,),

•^.wi *

V^e, — rîo'jff = c*^«<«»«"-3r^((;).

En remplaçant dans les formules (XXXIII, ,) ;^//, 3*,//, (^2^7 s'a// par leurs développements en produits infinis à simple entrée (XXIX), pris chacun sous la forme qui met en évidence la variable r, on trouve enfin

(XXXII;

(5) ^i(v)- ?.qQfj^ sinpTT I I (i — 2q^^ COSIVtz -^ Ç*")»

(6) 2r2(w)= îi^yo^* cosp- I I (1 -h •2<7*« cos 2 v*tc -h çr*«),

(7) 2r3(i^)z=,yo J2(»-^27^""*cos2r7:-hçr*«-î),

(8) S74(i')= (7oTT (» — -47-'''* cos2Pr-h çr*«-«).

163. Il est quelquefois commode de prendre z comme variable indépendante et de considérer, au Heu des fonctions 3(i^)> les

LES FONCTIONS 2r. I9

fonctions suivantes qui n'en diffèrent au fond que par le nom de la variable.

Si l'on pose

' (I bis) pi(^)= ^'^{^i)nqV^ï) z^n^^,

(XXXII)

(ibis) ?;(5)= ^(^i)nqntjstn^

on a manifestement

pi(5)=3r,(p), p,(^) = 3rj((;), p^{z) = ^i(v)y p*(-3) = 3r*(<').

En remplaçant, dans les formules (XXXIII<4) 2r|((^), 2f2(^\ 2fz{v)j 2r4(ç^), respectivement par p«(-3), 02(5), P3(2)î P4(^) et ^tt, rf|£/, <^2W, ^3^ parles produits infinis à simple entrée (XXIX), pris chacun sous la forme qui met en évidence la variable :;, 011 obtient les relations

iz — ^-»

n = to

(5 bis) pt{z)=iqoq' — J^f J (i-^?'"--») JJCi— 7'''-').

n=zl

n = l n^oe

(6 bis) p,(z)==25ro^^i^t i J^(,4.yl«5-l)J^(, + ,y2,i-

(XXXII

(8 6«) P4(^) = 5'ofJ(i-y"'-'--«)£J(i-g»»-»;;«),

dont nous ferons usage dans un instant.

164. Les fonctions âr, (j;), 3qj^, (ç;) que nous venons de définir el dont nous avons établi le lien avec les fonctions ^a, daU diffèrent

C4LCUL DlFFÉRENTlEf..

profondément de ces fonctions par la façon dont y sont engagées les périodes, qui dans les fonctions âr n^eutrent plus que par leur rapport. Les séries Irigonomélriques (XXXIIf.^), qui représentent ces fonctions, sont très élégantes : elles sont précieuses dans les applications numériques à cause de leur rapide convergence. Les fonctions Sr jouent d'ailleurs un rôle essentiel dans des recherches importantes d'Analyse, d'Algèbre et d'Arithmétique. Nous allons, dans les pages qui suivent, développer les propriétés fondamentales de ces fonctions.

Plusieurs de ces propriétés se déduisent immédiatement des propriétés correspondantes des fonctions c^i/, (^a^* On reconnaît ainsi très facilement quels sont les zéros des fonctions Sr, si elles sont paires ou impaires, ce qu*elles deviennent lorsqu'on remplace u par w-h 2(0|, u -h 2(03, u -h W|, u -+• 0)3, ce qui re-

vient à remplacer if par t^-j-i, t^H-T, V'\ — > t'-h-; le changement de £^ en ;^ — (O2 donnerait les formules relatives au changement de i^ en t^ H ; — On peut ainsi obtenir toutes les formules (XXXIV).

Le Tableau qui suit

(XXXIV

donne les valeurs de v qui annulent les diverses fonctions S; ces valeurs ont été placées au-dessous de la fonction correspondante; il est sous-entendu qu'on peut leur ajouter un nombre de la forme m -i- /ît, m et /i étant entiers. Les formules

(XXXIV

n'ont pas besoin d'explication.

Les formules

(XXXIV

(XXXIV4

s'obtiennent de la façon la plus aîsée, sans passer par les fonclîons î^, en parlant djs séries trigonomélriques; elles mettent en évidence, comme ces dernières, la périodicité des quatre fonctions à.

Les formules

2r,(r-f-T)= A2r,{i.), (XXXIVs) { 2r3(^'-f-'r)= A3r3(i;),

peuvent se déduire des formules (XXXII|4 his) légèrement modifiées. Si Ton y remplace q aV z par leurs valeurs e'^'^', e*''^', on ob-

lient de suite

Or / \ V tu l(/l« -+-»%)

Les quantités entre crochets dans les exponentielles sont toutes des trinômes du second degré en n qui deviennent des carrés parfaits quand on leur ajoute la quantité -^; on peut donc écrire

(XXXH)

(lo) e ' 2r,(i>) (u) « t &,(P) (12) e~^%{v)

or on voit qu'en remplaçant v par r -h t et n par n — i , les exponentielles se reproduisent; en sorte que, par ce changement, le premier et le quatrième des seconds membres changent seulement de signes, tandis que le second et le troisième restent invariables. On a ainsi, par exemple,

TT/(i'-»-T)«

e f âri(i;H- t) =

it/f*

d'où

3ri(i>H-T) = — <7-ïe-*'^*'3r,(pX

et Ton obtient de même 2r2((;-hT), 2r3(i'-t-T), ^^(p-i-t) au moyen de 2r2(p), 2^8(1^), ^^({f).

LES FONCTIONS 2r. 23

On voit tout aussi aisément sur ces formules comment les choses se passent quand on change v en v -\ — «Il suffit de rem-

placer, dans les deux premières, n par n — i ci v par ^-+-7

/ce qui change /i -h 7 -|- - en /i -{- - ), et, dans les deux dernières,

simplement v par v -{- ^ (ce qui change n -\- - en /i -h ^ 4- 7 )• En tenant compte d^ailleurs de ce que Ton a

lx> + -.\ —TZlV ; — -7

on obtient les expressions de Si f (^ -|- ;^ j» Sa^i ( (^ -j- •- ) au moyen

de 27|(i'), ^oL4fi(y)- Finalement, on arrive ainsi aux formules (XXXIVo).

En répétant m fois les formules (3) et /i fois les formules (5), on a aussi

Enfin, en combinant les formules (4) et (6), on parvient aux formules

(XXXI Va)

^v(p-hÎ^)= B^,(.),

qui correspondent au changement de u en u — w^.

Observons en passant que les formules (XXXIV3)et (XXXIV5), ou, si l'on veut, les formules (XXXI V7), qui les contiennent comme cas particuliers, mettent en évidence ce fait que les quotients de fonctions S sont des fonctions doublement périodiques, avec les

périodes 2, î>.t : on prévoit ainsi le rôle que joueront ces quotients.

165. Comme le changement de i^ en ç -i- m-\- n-: revient au changement de z en ( — i)'"q''z, et que les changements de i^

/w, :îv^?î '^\/?j l^s formules précédentes peuvent s'écrire

en i^ H — » (' + -> ^' H ^ reviennent aux chansremenls de z en

p,[(- l)'«^'»5] = (- i)^ q-n*;:-in p,(5)^

Pl(«-) = pt(3), p,(t^)=— p,(^),

p4(ts) = ?3(-);

Pi(- V^^) = — 47=P*(-)»

Pî(- /^) = -TF?3(-},

?3(- v/?) = -47=Pî(-)- - V 7

Pv(- v/^) = -47=Pi(-):

Ces formules se déduisent d'ailleurs immédiatement des définilions des diverses fonctions f (2).

166. Les fonctions 2r vérifient toutes les quatre l'équation aux <lérivées partielles

Nous avons vu, en effet (n° 160), que les séries qui définissent les fonctions S< (r, t), S^a+i {^\ '^)j séries qui rentrent dans le type

LES FONCTIONS 3r. 25

peuvent être différentiées, terme à terme, soit par rapport à r, soit par rapport à t. Or la quantité

/ = e'nt/(n-f-a)*-+-at^i{rt-i-a)

vérifie, comme on s'en assure immédiatement, Téqualion aux dérivées partielles

d^t , .dt

il en est donc de même des quatre fonctions Sr.