XXXV,) <^,,,
2fj('c) = — ■iir.q-^ ^i(o),
3(") = — 2tit (/-' &j(o),
2r;(-:)= atity 'avCo):
S',(m-t- /«-:) — (— i/''+''gr-«'&',(o), /vvYV ^ ■ 2r;(w-f-/iT)=(-i;'«+>2/nriV-«'2f,(o),
(aAAVj) < . , o.
jj(/?i -(- nx) = — •i.mziq—" 3i{o).
2rj(w -1- /it) =(— Oo+i 2rtitigt-"' 3t(o);
H est à peine utile de remarquer que toutes ces quantités ne dépendent que de 1.
On aurait des formules analogues, que nous nous dispensons d'écrire, pour les valeurs des fonctions p(-3) ou"de leurs dérivées,
quand on suppose z égal à t. \fq, i^<], • • • î les quantités 3a^.i (o)
LES FONCTIONS 2r. 27
sont respectivement égales aux quantités pa+i(0' ^^^"^ ^ Pi(0 c'est — . Sr', (o).
168. Les relations entre les quantités 2r', (o), ^«4.1(0), envisagées comme des fonctions de q^ permettent d'établir des propositions importantes de la théorie des nombres. Aussi convient-il de nous arrêter un instant à Tétude de ces fonctions.
Voici d'abord leurs expressions en fonction de y, obtenues en posant c = o, 5 = 1 dans les formules (XXXI1|4); toutefois. pour la première de ces formules, on a pris la dérivée des deux membres par rapport à v avant de faire ç^ ^ o,
3;(o) = iry (— i)'»(2n-hi)<7V'^î) =27r(<7* — 3<7^-^5<7^ — ...),
&, (o) = XS' ' = 2<7* -H 2^* -H 2^ * -4-...,
&^(o)= 2(— l)'»^'»' = l-«2^-*-2(?rV — 2^»-+-....
On trouve de même, au moyen des formules (XXXIII|,) par exemple y
(XXXVI, ) { ^, (o) = 2 ^0 ^ î (7"^,
En comparant ces relations aux égalités (XXXIj.,) qui donnent les expressions de /y ^^ ^^^ quantités s/e^ — ^3, ^e^ — ej,
v/^i — ej au moyen de y*, 5^0» î'u 5^2» 73? on trouve
< XXXVI
(XXXVI
Ces mémos formules s^obtiennent évidemment en supposant (' =. o, 11 = o dans les relations (XXXni9 i2); toutefois, pour la première, on doit d'abord prendre les dérivées des deux membres.
Il va sans dire que 1/ doit avoir la même signification que
dans les formules (XXXl3,).
On tire de là
i \/ei — ez \/ex — Ci v^^-'i — ej r= — ^ ^'f (o).
(XXXVU)
TT
'Util *
Puisque les quantités 2rj(o), 2^3(0), 2r'(o), 2r','(o) ne dépendent que de t, on voit que ces formules mettent bien en évidence la
propriété des radicaux y/e^ — c'3, ..., de se reproduire divisés parX quand on remplace w,, (03 par Xwi, Xwj (XVIil4).
169. Comme l'on a <7i<72 73= 1, on voit immédiatement que les quatre quantités S, (o), 272(o), 2^3(0), Sr^ (o) sont liées par la relation
(XXXVI5) ^'1 (o) = ttSTj (0)^3(0)3^^(0).
En élevant au carré les trois dernières égalités (XXXVI4) et en les combinant comme l'on a fait quand on a obtenu la relation
l(jqq\ = (/l — gh
on obtient la relation équivalente
(XXX Vie) Sj(o) = 2rJ(o) 4- &t(o).
Si l'on tient compte de la relation <?! H- c^ H- ^3 = o, on déduit aussi des trois dernières formules (XXXVI4), en les résolvant par
rapport à e^j e^, ^3,
(XXXVI,) J«,= l(-î y[ auo)-^t(o)],
En se rappelant (n® 99) que l'on a et en tenant compte de la relation (XXX VIo), il vient aussi
^«=1^(j)*[^5(o) + &5(o)-&Ko)&i(o)],
(XXXVIs) j^,= (;^yj^[&i*(o)-f-&r(o)]
170. Si l'on pose avec Jacobi (XXXVII.) /* = J422 = ^?^H-ayU,7y+...
( XXXVII,) y/k' = î4^! = '-^^^^'^;-"^^;-^-' ,
00 voit que l'égalité ^^(o) = ^\{o) 4- ^\{o) prend la forme (XXXVII,) )t«-hA'*=i.
On déduit aussi des formules (XXXVI3) les relations
t/ — m — (xxxviu) i }fk = Y^ ""' ,
(XXXVII5) yfk= tP==^'
^ei — 63 qui entraînent également la formule (XXXVII3). Enfin, en tenant
3o CALCUL DIFFÉRENTIEL.
compte des formules (XXXVI2), on a
(XXXVII.) v/^'=4 = n-i^:-5^^^
et cette forme donnée à ^ et y/A*' invite à considérer ^, y^ en tant que fonctions univoques de t.
171. Dans un Mémoire célèbre (*), M. Hermite a désigné ces fonctions par ç(t) et ^(t) en posant
(XXXVIII,) ?(^) = /^^^|J
où v/2 est la racine carrée positive de 2, et
(XXXVIII, ) H^)=^'
qt
Les égalités (XXXVIII3) o«('u) = Ijgi^^ = v/X-,
(XXXVIII,) i^Hx) = ^-j{^ = v^
sont manifestes.
En même temps que ces fonctions, M. Hermite a introduit (2)» la fonction untvoque de t
(XXXVIII5) X(^)=v/2y^;^,
où y/2 est la racine sixième réelle et positive de 2.
Les fonctions f (t), '}(t), x(t) sont liées par les relations
(XXXVIIIe) ?H'c)-h '^H') = 1,
(XXXVIIIO ?(^)4'(^) = XH^),
qui équivalent à nos formules (XXVlIIj.o).
(') Comptes rendus, t. XLVI, p. 5()8.
( ') /ôid., p. 715.
LKS FONCTIONS ^. 3l
Nous joindrons à ces fonctions celle que M. Dedekind a désignée (*) parr, (t) et que nous représenterons par h(':) à cause de l'usage que nous avons déjà fait de la lettre r^, Cette fonction est définie par la formule
(XXXVHIg) h{') = q'^qo-
On voit immédiatement que les fonctions cp, ^, y, h sont réelles et positives pour une valeur purement imaginaire de t.
Signalons encore les fonctions /(t),/i (t),/2(':) introduites (2) par M. Weber
(XXXVIIIO {Ai'^) = q'^qz ='Ml2^
Ces fonctions et la fonction Ii(t) sont liées aux quantités âoi+i(o|T) et S', (o|t) par les relations évidentes et très symétriques
(XXXVlII.o) ') , V^^
Sr,{0|T)=:l»(T)/?(T).
Les diverses fonctions de t que nous avons définies dans ce pa-
( » ) Journal de Crelle, t. 83.
(*) EUiptische Functionen, p. 63. M. Dedekind a employé les mêmes notalions/,/,,/, pour désigner les fonctions suivantes {Journal de Crellej t. 83, p. a83) :
hûT)
OÙ p = e > .
ragraphe jouent un rôle important dans les applications des fonctions elliptiques à TAIgcbre cl à la théorie des nombres. Au point de vue analytique, il importe de remarquer qu'elles n*ont été définies que pour des valeurs de t représentées par des points situés au-dessus de Taxe des quantités réelles.
172. Reportons-nous aux formules (XXXIII) qui permettent de passer des fonctions du^doL^ aux fonctions 3,(1^), ^ft+%{v)» On obtient des identités importantes quand on développe les
deux membres suivant les puissances de ^ = et que l'on égale
dans les deux membres les coefficients d'une même puissance de V, Les développements des premiers membres, où figurent les fonctions dii^ d^u résultent immédiatement des formules (IXi ) et (XI7); quant aux seconds membres, on n'aura qu'à y remplacer ^»TQi <«>.*'• par son développement en série et 2r< (i^), ^a+t (^) respectivement par
^a-M (0)+ -^ ^;^,(o)-4. -^ &iiït(0)-r- .... 1.2 I . '2 . j . 4
Choisissons, parexemple, parmi les formules (XXXIll), celles-ci ;
CM = 2(0, ^^ e^-n^^^^\ Ca w = îr^^ e«l.«.«'«. ^i(p) " 2ra+i(o)
En écrivant, d'une part, que, dans le développement de (^£/, le terme en u^ manque, de l'autre, que, dans le développement de
c^att, les coefficients de u^ et de w* sont — ~' ^ — ^» et que, par conséquent, les coefficients de x^^ et de c* sont — ae^wj el (^ — ^'^âj^îi O" trouve de suite
(XXXIX) <■ (2) 2r^, a>i =~ î^ato? ^^ — ,
La seconde de ces égalités équivaut à trois égalités; si on les
suppose écrites, qu'on les ajoute membre à membre et qu'on tienne compte de la relation ei 4- ^2-+- ^3 = o, on aura
