âTw "^ &7T3) ^ SÛ3)J
et, par conséquent, à cause de la première des égalités précédentes, on a aussi la relation très symétrique
(XXXIX.) ^^^^^^ ^
En éliminant 7,1 entre la seconde et la troisième des égalités précédentes, on obtient la relation
d*ailleurs les relations
^j = — 4(epey-hc.ea-+-e3ie^),
montrent de suite que Ton a
et, en séparant les divers cas possibles, on trouve immcdialemcnt, au moyen des formules (XXXVIi), les suivantes
(XXXIX,) \^S^-3^'-l^ = 27r^^J(o)^{(o)- Mei-e,)(c,-e,)u>l
173. Signalons encore les résultais suivants, dont nous ferons usage par la suite.
Si, dans les formules
St. ( i> I T ) = y (— I )« ewAT/.'+ti'/i) ^
T. et M. - II.
on consid(>rc, dans les seconds membres, les termes pour lesquels Il est pair, on voit que leur ensemble n'est autre chose que ^^{ivl^i)) les termes où n est impair sont, d'ailleurs, égaux et de signes contraires; on a donc
(XL,) 2&,(2i>|4T)=&,(HT)-t-2r,(plT).
On aura de même
XLi) 22r,(2H4-)=3r3(p|T)-Er4(HT).
Quand on fait, dans ces formules, ('== o, on obtient par division, en posant
et en tenant compte des formules (XXXVll2,5), les relations
( XL ^ b = L"Z^' = Vgi— ^3 — V^g| — gî __ iq -^iq^-^xq^^-^ ...
Comme, en vertu de la relation (XXXIlIo), on a
on doit avoir aussi, en remplaçant (03 par 4(*>39 '^ pdi'4"} <^^ P^i* suite, \Jk par t,
Syt(t^|4T) __ ^ sVm[wi^4joj)
ou encore, en changeant u en ^u et i-* en ac^,
^3(at'l4T^) <3'2(2a|o),,4a>j)'
D'ailleurs les formules (XL|) donnent par division, en tenant compte de (XXXIIIh-i2)^
^i(2t'|4") Sr3(i;|'w)— ^»(p|t) yex — ej^tu — \/ex — et^^u ^ 3^3(2i^|4T) ~"2r,(i^|x)4-3rv(i'|T) */eT=T,G',a-i-{/^r=^3',i*'
on a donc finalement la relation
(AXi|) O •^-: ; = rj-rz . , = >
o',(ai*|to„4co,) t^e,— e3 3'i(w|wi,««>3)4-Vei— e,a'3(wlwi,wj) dont on apercevra l'utilité plus tard.
174. Nous terminerons ce paragraphe par quelques remarques relatives au cas où l'on a, q étant réel,
Quand les quantités (0|, -4 interviendront, nous les supposerons
réelles et positives (*) ; enfln nous ne considérerons que des valeurs réelles de c. Les fonctions 2r sont alors des fonctions réelles d'une variable réelle.
Observons d'abord que les quantités qo, qt, q^i qz sont réelles et positives (XXVIII^); on voit, en outre, que l'on a
qii<i<qu qz<^<qi'
Il en résulte, à cause des équations (XXXV fj), que les quantités 2r'^(o), 32(0), 33(0), 3^(0) sont réelles et positives : cette propriété apparaîtrait aussi bien, pour les trois dernières, sur les développements en série (XXXVIi); on a, en outre,
Les racines ^i, «2, 63 sont réelles; la première est positive, la dernière est négative ; on a
les quantités ^e^ — e^ , y/ei — e-x sont réelles et positives, la quantité y^'ëT--^ est négative; tout cela a été démontré au n° 121 et résulte à nouveau des formules (XXXVI7) et (XXXVI4).
La quantité 7|| est réelle : elle peut être positive ou négative, ainsi qu'il résulte de la formule (XXX4) qui montre clairement
(*) Le lecteur traitera sans peine le cas où &>,{ et (■>, sont des quantités réelles et négatives, cas auquel q est réel et vériGe aussi l'inégalité o <ç <i. On passe d'ailleurs de ce cas au cas considéré par la substitution û,= b»,, û, = — w,.
que Téquallon en «7,
admet une racine réelle et une seule comprise entre zéro et un. Les formules ( XXX |3) montrent que des trois quantités ei H — —y
<?> + — > ^3 4- — » les deux premières sont positives et la troisième
négative; d'après cela, et en vertu des équations (XXXIX2), il en est de même des trois quantités — 2r![(o), — 2rJ(o), — 2rJ (o) ; la ([iiantité 2^J'(o) est (XXXIX<) de signe contraire à y^i.
175. Considérons maintenant les fonctions Si (r), 2ra^,(ç^').
Le signe de ces fonctions pour les valeurs réelles de v' apparaît de bien des façons : le plus simple est de recourir aux décompositions en produits infinis (XXXIIs.g) qui montrent que ^i{^) et ^2{^) oiit respectivement les signes de sini^ir et cosi^ir, et que les fondions 2/3 (r), ^j^{{>), qui ne s'annulent pour aucune valeur réelle de r, sont toujours positives.
Les formules (XXXIV2 3) montrent qu'il suffit d'étudier la variation (') des fonctions 27i (^), ^2{^)^ ^^i^)^ ^^^(t'), en faisant varier r de o à j .
En prenant les dérivées par rapport à i>, on tire immédiatement de Péqualion (XXXIII7)
■ êr-, — — — î w? pw -; — - )
Quand v augmente de o à -> u =,2W| v augmente de o à (0| et pu diminue de + 00 à Ci : le second membre diminue donc de — 00 à — 4 ^î (<?i -h — ); or cette dernière quantité est négative; par
conséquent, la fonction -^ ^ va toujours en diminuant : pour v un
peu plus grand que o elle est positive et très grande, comme toute dérivée logarithmique d'une fonction réelle qui vient de passer par zéro, et ainsi qu'il résulte, d'ailleurs, de ce que 2r', (o) est un nombre positif et de ce que la fonction Si (p) est positive dans
(*) Halphen, i. I, p. aSS.
LES FONCTIONS 2r. 87
rintervalte (o,i). D'ailleurs (XXXV2), pour 1^= -^ la fonction 2r', (r) est nulle.
\insî, quand (^augmente de oà-» la fonction ^^^Mccroîtde-+- 00
a o et, puisque la fonction ^4 (r) reste constamment positive, il en est de même de la fonction 2r'j((^); par suite, enGn, Si (i>) augmente. Quand r augmente ensuite de - à i, 27i(r) diminue en reprenant symétriquement les mômes valeurs, à cause de Tégalité
La façon dont varie Si (r) pour des valeurs réelles de v est donc tout à fait analogue à la façon dont varie la fonction sinr?:. A cause de Fégalité
on voit ensuite que2r2(^') varie comme cost'Tw.
Maintenant les égalités (XXXIlIg) donnent encore, en prenant les dérivées par rapport à i-,
et, en particulier.
Quand u augmente de o à W|, p(f^ 4- (03) augmente de ^3 à e^; la quantité entre crochets, dans le second membre, augmente
donc de ^3 H — ^ à ^aH — ^ • La première de ces quantités est négative, la seconde positive. Lors donc que c augmente de o à - , le premier membre, d'abord positif, s'annule pour une certaine valeur i;=('jj, puis devient négatif. La fonction ^ augmente
quand (^ augmente de o à Tq, diminue quand v augmente de ('0 à - ; elle est nulle pour t» = o, elle sera donc positive pour v = i'o ; enfin
pour c'= - on a
on voit donc que la fonction ^'^{^) reste constamment positive et que la fonction ^a(^) augmente constamment depuis 3^4 (o) = ^o^j
jusqu'à 2^4 f-j =33(0) = yo^î; lorsque i> augmente ensuite de
-à I, ^a{^) diminue en reprenant symétriquement les mêmes valeurs à cause de l'égalité
Ainsi, pour ce qui est du sens de la variation , la fonction 3^4 (i^) se comporte comme ferait la fonction i — a^rcosaiii', si q était
plus petit que -; de même, la fonction ^^(i^) se comporte comme ferait la fonction i + a^r cos2'iri^, si q était plus petit que -•
rv. — Transformation linéaire des fonctions ^.
176. Nous avons supposé jusqu'ici que les quatre fonctions 3 étaient formées avec le même couple primitif 20)1, acoj, ou plutôt
avec le même rapport t= — • Supposons maintenant que l'on
remplace le couple (îiwi, 20)3) par le couple proprement équivalent (2Û1, 2Û3) tel que l'on ait
Ûi = awi H- Z>(i)j, Û3 = ca)| H-É?a)3,
où a, t , c, rf sont des en tiers qui vérifien t la condition ad — bc= i. Cela reviendra à remplacer
V = ■ — » z = e*^', T, g = gfiu
par
V = —pr- = 7- > e^^S T = r y Q = tf^lW
2l2i a-hO-z ' a-hOT
^.H ^3 par
LES FONCTIONS 2r. 89
et enfin q^^ Çi, ^2? ^s parles quantités Qq^ Qi, Q2, Q3 formées au moyen de q comme y©? 7n ^2» ^s au moyen de y. On obtiendra ainsi quatre nouvelles fonctions que nous désignerons par
&i(v[T), 3,(v(T), 2r3rv|T), 2r,(v|T).
Si Ton applique les formules (XXXII1|^) aux fonctions ^(tt|il,,û,), (^«(mIûi, Û3), (^,(M|i2,, Û3), (^3(w|û,, 123) qui ne sont autres que les fonctions du, 'i\u, 'i^u^ dyU formées avec les demi-périodes a)|, coj et affectées d'indices X, ix, v dont la valeur est fixée par le Tableau (XXg), on trouve de suite
(0 —qW^u. =e*M,Q.v«2r,(v|T),
<XLI) <(.,.) 2QoQÎQ*<fxw =e«".û.v«2r,(v|T),
(3) OoQ|a'{,a = c*".".^'*2y3(v|T),
(I) QoQÎ3'vW=e«".û.v«c^^(v|T)
et ces formules, si l'on connaissait X, [jl, v, fourniraient, par la comparaison avec les formules mêmes d'où on les a tirées, des relations entre les fonctions 2r(r|T), 2r(vlT). Les formules (XXXnio i2), appliquées de la môme façon, permettent de faire un pas de plus.
177. Mais il convient tout d'abord de faire, sur la signification des radicaux, quelques remarques analogues à celles du nM29.
Les quantités ^Ea — E3, ^v.\ — E3, ^E| — E2 doivent être définies par les formules
V^i — Ej = * l/.j^^ ^QoQÎ Q*^»
<XLI,) { v^Ei — Es = 1/-^ QoQI»
v^^i - «« = y^^ ^ooî,
où, dès que l'on a fixé la signification de i/ — > il ne reste rien
d^ arbitraire. Or, si l'on remplace E|, E2, E3 par ex, ^ji, ^v, rien n'autorise à penser que les racines quatrièmes que l'on vient de
4o CALCUL DIFFÉRENTIEL.
définir soient les mêmes que celles qui sont définies par les formules (XXXI3); ainsi, si Ton a £2 = ^2, £3 = ^3, on ne peul
nullement affirmer que sJy.^ — E3 soit égale à sje^ — 63, mais seulement que ^E2 — E3 est égale à \Je^ — e^ multipliée par une racine quatrième de Tunité. En général, les quantités (e2 — Es)*? (e^ — £3)2, (ei — £2)^ sont identiques aux quantités {e^ — Cj)** (^1 — ^3)^, {e\ — ^2)^ rangées dans un certain ordre, en sorte que
Ton peut affirmer que les quantités y^E2 — E3 , ^e^ — E3 , yjY.\ — Ej
sont respectivement identiques aux quantités sje^ — e%^ yje^ — ej,
sje\ — ^2 rangées dans un certain ordre et multipliées chacune par une racine huitième de l'unité convenablement choisie.
De même, en conservant à (j* le même sens qu'au n® 101, il est clair que Ton a
(E, — E,)« (E, — E3)* (El — Es)' = ( ej — ^3)* (ei — ^8 )' («1 — «j)* = ff»
et la formule (XXXI4) montre que l'on doit avoir
e étant une racine huitième de l'unité convenablement choisie.
178. Quoi qu'il en soit, il est manifeste que, en adoptant ces notations, les formules (XXXl]lo i2) nous donnent les suivantes
(10) V^E, - El 4/^* C^'vW = e*H«û.V'^^( V|T).
Reprenons maintenant les formules (XXXl]l9 i2) elles-mêmes et observons que les trois dernières entraînent la suivante
où et est égal à quelque racine huitième de l'unité qui peut d'ail-
LES FONCTIONS 2r. 4^
leurs dépendre de a, p, y- Appliquons celle formule en prenanl pour les nombres a, p, y successivement les nombres \ [x, v; a,
V, X; V, X, jx et observons que ^^e^ — E3 , ^K| — E3 , ^/e^ — Eq ne
peuvent différer respectivement de ^/e^ — é*v, v^^v — ^^ V^O. — ^[l que par des facteurs égaux à quelque racine huitième de Tunité; comparons les formules ainsi obtenues aux formules (XLIg-io), et la formule (XLI7) à la formule (XXXIIIg); observons enfin que la différence 2Yi,(o,i'- — 2H|a,v' se réduil manifestement, en vertu
de la relation r^tto^ — 7,30), = -f-> à l'expression bvsrd et nous parviendrons au théorème suivant :
Quels que soient les entiers a, b. c, cl vérifiant la condition ad — te = I, on aura, en désignant par e, e', t"^ s'" des racines huitièmes de l'unité dont les valeurs dépendent de a, 6, c, rf, les formules que voici
(XLIl)
/ (i) e /rt-f-6xe*'''^''^"2r, (t^l-c) r=3r,(v|T),
(2) t' sja-r-b-z e^^'^i 2rx+,(p | t) =-- ^,( v | t),
( (4) e'Va-.-6Te'^"vru2r,^,((^|-:) =2r,(v|T),
où les nombres \ jjl, v sont donnés en fonction de a, t, c, d par le Tableau (XXg).
179. Il reste à déterminer, dans chaque cas particulier, les racines huitièmes de Tunité e, e', e", s'". Nous observerons tout d'abord que ce n'est pas d'une racine huitième de l'unité qu'il s'agit vraiment, mais seulement du signe d'une racine carrée.
En effet, pour chacun des six cas du n" 128, nous avons déterminé, sans ambiguïté, dans le Tableau (XX7), les valeurs des radicaux y/ej — E3 7 ^Ei — E3 , y/E| — Ea- Dès lors les racines quatrièmes y/E2 — E3 , y^E| — E3 , v-^Ëi — Eo ne peuvent avoir que deux valeurs égales et de signes contraires, et c'est entre ces deux valeurs qu'il s'agit de choisir. Nous allons d'ailleurs montrer que quand le choix a été fait pour l'un des radicaux, il s'impose pour les autres : en d'autres termes, on peut exprimer, sans ambiguïté, trois des quatre racines e, e', e'', e"' à l'aide de la quatrième.
Remplaçons, par exemple, dans l'égalité (XLII|), v successi-
vement par v-H-, V-I-7T, vH j — TCt, par conséquent,
i' par i' 4- ^ (a 4- 6t), t» + i ( c -H d'z), ^4-^(a-Hc)-i-i(6-H d)z.
JL 2i A A
En faisant usage des formules (XXXIV), en réduisant et en comparant les résultats obtenus aux trois égalités (XLIl2 4), on obtient aisément, dans les six cas du Tableau (XXe), pour les
rapports-» -, — > les égalités
