XLII

. hrt-H/n

-t-Ac-t-fl-f-c-t-m"

OÙ m', m", m'" sont trois nombres entiers dont la valeur est donnée par le Tableau suivant :

(XLIIO

Il s'agit donc finalement de déterminer seulement e, dont la valeur, comme nous l'avons fait observer plus haut, ne dépend que du signe d'une racine carrée. La détermination de ce signe en fonction explicite des nombres a, bj c, d est un des problèmes difficiles de la théorie qui nous occupe : il a été résolu pour la première fois par M. Hermite ('). Avant de donner la solution de ce problème, nous commencerons par indiquer un moyen qui per-

(' ) Sur quelques formules relatives à la transformation des fonctions elliptiques {Journal de Liouville, 2* série, t. III, p. q6).

LES FONCTIONS 2r. 43

metlra de déterminer eSectivement la valeur de e, toutes les lois qae les nombres a, 6, c, d sont donnés.

180. Nous eOectuerons d^abord celte détermination pour les deux substitutions propres

qui, par répétition et combinaison, engendrent toutes les autres. Pour la première de ces deux substitutions, on a

ûl=(U,,

Û3 = (Oj-I- (Uj,

Hl= T^l,

lU- T^ll-i- T<3,

donc

jj^ lT + l)7Ci

T = XH-I, V = t>, Q = — y, Q*=v/ty* = C * ,

Qo=yo, Qi=<7i» Qj=^3, 03=^1

et Ton est manifestement dans le cas a" du Tableau (XX©), où )i = I , jx = 3, (^ = 2.

Il serait donc aisé, dans ce cas particulier, d^ arriver au résultat en se servant des formules de transformation pour les fonctions d et des formules de passage des fonctions d aux fonctions Sr : en effet, les résultats précédents et les formules (XLI5, XXXI3) fournissent sans peine les relations

Ve, — E, = 1/ -7-^0^1= V^ei— ej,

v/ei — Eî = l/-7ryo^î= ^^1 — ^3,

qui permettent d'achever les calculs.

Mais il est encore plus simple de recourir aux formules (XXXII|4) qui définissent les fonctions 2r. On voit immédiatement, sur ces formules, que, par le changement de ^r en — q^ les fonctions ^^{v) et ^k{^) s^échangent, tandis que les fonctions

y *2ri(i^) et q *2?2(^) restent invariables, et Ton parvient ainsi aux formules

(1) 2r,(i>|T-M) = v^72ri(i>|T),

(2) STiCi^iT + Or^/ZârjCHT),

(3) 2r,(rI':-i-i) = 2r4(c>|T),

(4) 2r,(i>|T-^i)=2r3(HT).