XLIII

On voit que, dans le cas considéré, en supposant que l'on prenne y/Ç/ -+- ^t = y/i = i , on a

Ce résultat est d'ailleurs conforme au Tableau (XLIIc).

181. Pour la seconde des deux substitutions considérées onart = o, 6=1, r = — i,rf = o,

donc

"1= TiJ,

— Til»

et Ton est manifestement dans le cas 5** du Tableau (XXc), où X=3, 11= a, v:= I. Les formules (XLlIi^^) donnent donc

ai-o=

2r,(^|Ij =e'V^^''^'"^*(H^),

et l'on a, d'après le Tableau (XLlIo),

Portons notre attention sur la troisième des formules précé-

dénies où figurenl des 2r de même indice et que Ton peul écrire

Le second membre de cette égalité apparaît comme une fonction univoque de t' et de t; i^ ne figure pas dans le premier membre. On pourrait craindre que la détermination du premier membre ne dépendît de la valeur de c^, en sorte que le second membre fût toujours égal à l'une des déterminations du premier, mais tantôt à Tune, tantôt à Tautre, suivant les valeurs de v. On peut bien prévoir qu'il n'en est pas ainsi, puisque, t étant donné

el ^ étant choisi arbitrairement, s" doit être entièrement déterminé; mais il est bien aisé de le reconnaître autrement. On vérifie de suite, en effet, que les zéros de 2^3 ( j coïncident avec

les zéros de ^z{^ \ '^)î c^ comme ces zéros sont tous simples, 11 est clair, d'après sa forme, que le second membre ne peut être qu'une fonction continue de r; il ne peut donc passer d'une valeur constante à une autre valeur constante; il ne peut être égal qu'à une seule et même constante, et Ton a, en particulier,

ce qui fixe bien le sens de t" quand t est donné et que la détermination de ^ est fixée.

Le premier membre ne peut prendre qu'un nombre fini de valeurs déterminées; le second membre apparaît comme une fonction de T sur laquelle nous allons pouvoir répéter à peu près le

raisonnement précédent. Fixons tout d'abord le sens de ^'7, La partie imaginaire de t est positive; on peut donc poser

en supposant que les nombres réels p et 0 vérifient les conditions

o < P> o < 0 < TT.

Nous adopterons pour ^/t la détermination

en supposant \fp positif; le point y/r est alors situé dans Tangle formé par l'axe des quantités réelles positives et l'axe des quantités purement imaginaires à coefficient positif; il se déplace d'une façon continue dans cet angle quand le point t se déplace d^une façon continue au-dessus de l'axe des quantités réelles. Cette détermination de y/r étant adoptée, la quantité

est une (onction univoque et continue de t; c'est donc une seule et même constante.

Si nous prenons, par exemple, *:= /, p = i, 6 = -> nous aurons

d'où, puisque e', s", e"' sont égaux à «e,

Finalement les formules de transformation sont ici On observera que, dans ces formules, la partie réelle de ^ est

(XLIIl)

LES FOiNCTIONS ^. 47

positive. On a, en effet,

et cos[ ~ j est un nombre positif, puisque 8 est compris entre

o eiiz.

182. Ces formules se rapprochent naturellement des formules (XXXIl9 i2). En changeant, par exemple dans la première de ces

formules, t en et i^ en -» il vient

d'où, en comparant à la formule (XLIII5),

En changeant, sous le signe ^> n en — n, on obtient donc la première des formules du Tableau suivant, dont les autres se déduisent de la même façon :