Lorsqu'on remplacer par — -> on déduit facilement la
relation qui concerne 1i(t) de la relation (XLIIIjj) en faisant usage de Tégalité 2?', (0)= 27:1i'(t). On a ainsi
et, par suite,
OÙ C est une racine de l'unité. On a déjà fait observer (n*^ 181)
que y/r est une fonction univoque de t; en répétant les raisonnements de ce numéro, on voit immédiatement que C ne dépend
pas de t; d'ailleurs, pour t = /, on a C = -^; il vient donc fina-
lement
(XLV.) h(-i)=^h(T).
Quant aux fonctions ç(t) et ^(t), on a d'abord (XXXVIIl3 4)
donc
OÙ le sig^e ne dépend pas de t. Mais si l'on suppose t purement imaginaire, les fonctions cp et ^ sont réelles et positives; on a donc dans tous les cas
(XLV.) <p(-i^=^(x),
et, ce qui est la même chose,
(XLV,) 4'(-j)=?(^).
Enfin la relation ^{'^)^{'^) = X^('c) montre que l'on a
d'où
en désignant par C une racine cubique de l'unité qui est la même, quel que soit t. En observant que pour une valeur purement imaginaire de t la fonction y (t) a une valeur réelle et positive, comme il résulte de sa définition, on voit que G est égal à i : on a donc
T. et M. — II. \
5o CALCUL DIFFÉRENTIEL.
186. Les formules qui précèdent nous permettent, par répétition et combinaison (n°149), d'obtenir, chaque fois que a, 6, c, d ont des valeurs numériques données, les formules de transformation linéaire pour toutes les fonctions considérées. Le problème de la transformation linéaire des fonctions Sr et des fonctions ç(t), ^(t), x('^)î ^{'^)'i P®"^ donc élre considéré comme résolu.
Parmi les substitutions linéaires dont on fait souvent usage, nous citerons les suivantes, où m ei n sont des entiers quelconques,
(XLV
) <p(TH-a/i) = r<?(T),
(XLV.o)
iK-c + an) ='Kt), 4<(t-H2/»-i-i)= T7— :»
(XLVn)
elles résultent immédiatement, par combinaison et répétition, des formules précédentes.
187. Le Tableau (XX7) permet d'écrire immédiatement, dans les six cas possibles, les valeurs de c>*(t) = A*(t) et de Y{T) = k'{T) en fonction de ^^(t) = Â'(t) et de ^}^*(t) = /.-'(t). Il suffit pour cela de tenir compte des relations
/ei — E3 /ei —
Mais les résultats précédents permettent d'obtenir davantage; on peut, en effet, en déduire ç^(t) et ^^(t) en fonction de cp^ (t) et de <J'-(t) dans les six cas considérés. En faisant usage des formules (XLII) et en posant
^Hi) = v/^(T) = y//, 4^«(t) = /Fôô = //",
OQ a
d'où résultenl immédiatement, en tenant compte du Tableau (XLIIe), les formules annoncées dans les six cas du Tableau (XXe) :
cd
rrf
ah
Sur ce Tableau, on observe immédiatement que les quantités o*(t) = /r^(T), •}*(!) = A*'''^(t) ne sont susceptibles que de six valeurs, savoir :
Ces six valeurs sont précisément celles que prend un rapport anharmonique quand on j permute de toutes les façons possibles les quatre éléments.
488. Les formules (XLV) nous permettent d'établir quelques relations importantes qui nous seront utiles plus tard; ces relations concernent les invariants de toutes les substitutions linéaires, et c'est sur ce point que nous allons maintenant fixer notre atlenlion (*).
( • ) Voir Rausenbbrqer, Théorie der periodischen Functionen, p. 867.
Les formules (XLIII) mettent en évidence ce fait que chaque fonction symétrique entière de degré n, des quantités
ne change pas lorsqu'on remplace t par t 4- i et se multiplie par T*'', lorsqu'on remplace t par — -•
Le quotient de deux fonctions symétriques entières, de même degré, des quantités
ne change donc pas lorsqu'on remplace t soit par t 4- i , soit par ; il ne change donc pas lorsqu'on effectue sur? une transformation linéaire quelconque.
Parmi ces quotients, les plus simples sont ceux que l'on peut former à l'aide des trois fonctions symétriques élémentaires
2r|(o|x)2r|(o|T)-+-^|(o|T)^î(o|T) + 2rj(o|T)^5(oh),
Considérons en particulier le quotient
[2r|(o|T) + 2rS(o|T) + 2rs(o|T)]3 ^ 2r5(o|T)â|(o|T)2r{(o|x) '
il s'exprime simplement en fonction de k^. En tenant compte de
la définition (XXXVlIj.a) de y/Â, y/it' et de la relation A-2 -+- k'''= i , on trouve immédiatement pour sa valeur
On désigne habituellement par J(t) et l'on nomme invariant absolu des fonctions doublement périodiques la fonction de t,
(XXXVII,) j(,)=L'JL Ai.;
nous venons de voir qu'elle ne varie pas lorsque l'on effectua sur T une substitution linéaire quelconque {ad — 6c =^ i), et que
LES FONCTIONS 2r. 53
l'on a
r5|(o|T) + Sr§(o|T) + Sr{(o[T)3» __
2rî(o|T)2ri(o|x)2r;(o|T) -^'^^)'
De plus, comme la relation (XXXVIo)
3rJ(o|T) = 3rJ(o|T)-i-3rt(o|T)
entraine la suivante
3r|(o|T)3r|(o|T) + 2r|(o|T)3r{(o|T)H-2r{(oIx)Sî(o|T) = J[^l(olT) + 3r|(o|T) + S{(oh)p,
on voit, en appliquant le théorème fondamental sur les fonctions symétriques, que tout quotient de deux fonctions symétriques quelconques, de même degré, des trois quantités
^î(oh), S|(o|t), 2r{(o|T),
est une fonction rationnelle de J(t).
189. Il est facile d'exprimer J(t) en fonction des invariants g2 et g,. Comme on a
Cl— 63
il vient immédiatement, en tenant compte des relations
Ci-h Ci-h 6^= O,
Ç = (c,-e,)»(e,-c,)«(e,-e,)«=^(iri-27érî),
la formule
